Định lí, giả thiết và kết luận
**Định lí** là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Định lí thường được phát biểu dưới dạng:
$$\text{Nếu … thì …}$$
- Phần nằm giữa từ “nếu” và từ “thì” là **giả thiết** (GT): những điều đã cho.
- Phần sau từ “thì” là **kết luận** (KL): điều cần suy ra.
Ví dụ: “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau”. Giả thiết là hai góc đối đỉnh; kết luận là hai góc bằng nhau.
Chứng minh một định lí
Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết suy ra kết luận.
Một trình tự dễ theo dõi gồm:
1. Chuyển phát biểu tổng quát thành một hình cụ thể.
2. Viết rõ GT và KL.
3. Tìm tính chất nối dữ kiện đã cho với điều cần chứng minh.
4. Trình bày từng bước và nêu căn cứ.
Hình vẽ giúp tìm hướng suy luận nhưng không thay thế cho lập luận.
Ví dụ: hai góc kề bù bằng nhau
Chứng minh: “Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông”.
Gọi số đo hai góc là $A$ và $B$.
**GT:** $A+B=180^\circ$ và $A=B$.
**KL:** $A=B=90^\circ$.
Vì $A=B$ nên
$$A+B=A+A=2A.$$
Mặt khác, hai góc kề bù nên $A+B=180^\circ$. Do đó $2A=180^\circ$, suy ra $A=90^\circ$. Vì $A=B$, ta cũng có $B=90^\circ$. Vậy mỗi góc là một góc vuông.
Phản ví dụ cho một khẳng định không đúng
Định lí “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” là đúng, nhưng phát biểu đảo “Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh” không đúng.
Chỉ cần vẽ hai góc $40^\circ$ có đỉnh khác nhau. Chúng bằng nhau nhưng không thể đối đỉnh vì không có chung đỉnh. Hình như vậy là một **phản ví dụ**: nó thỏa điều đã cho nhưng không thỏa kết luận, nên đủ để bác bỏ khẳng định tổng quát.
Xác định giả thiết
Trong định lí “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau”, giả thiết là
Đây là kết luận của định lí.
Đây là tính chất của hai góc bù, không phải dữ kiện trong phát biểu.
Đúng. Phần này đứng giữa “nếu” và “thì”.
Phát biểu yêu cầu hai góc đối đỉnh, không chỉ kề nhau.
Lời giải
Phần sau từ “nếu” và trước từ “thì” là “hai góc đối đỉnh”, nên đó là giả thiết. Chọn C.
Hoàn thành một chứng minh ngắn
Hai góc $A$, $B$ kề bù và bằng nhau. Từ $A+B=180^\circ$, $A=B$, kết luận đúng là
Đúng. Hai góc bằng nhau và có tổng $180^\circ$ nên mỗi góc bằng $90^\circ$.
Nếu mỗi góc bằng $180^\circ$ thì tổng bằng $360^\circ$.
Hai số đo này có tổng $180^\circ$ nhưng không bằng nhau.
Hai góc kề bù có tổng $180^\circ$, không phải $360^\circ$.
Lời giải
Thay $B$ bằng $A$ trong $A+B=180^\circ$ được $2A=180^\circ$, nên $A=90^\circ$. Vì $A=B$, suy ra $B=90^\circ$. Chọn A.
Kiến thức cần nhớ
Đọc định lí theo cấu trúc “Nếu … thì …” để tách GT và KL. Chứng minh phải đi từ GT đến KL bằng các điều đúng đã biết; một phản ví dụ đủ để bác bỏ khẳng định không đúng trong mọi trường hợp.