Diện tích xung quanh
Khi trải các mặt bên của lăng trụ đứng, ta được một dải hình chữ nhật có:
- chiều dài bằng chu vi một đáy $C_{đáy}$;
- chiều rộng bằng chiều cao lăng trụ $h$.
Vì vậy,
$$S_{xq}=C_{đáy}\cdot h.$$
Diện tích toàn phần của lăng trụ kín là
$$S_{tp}=S_{xq}+2S_{đáy}.$$
Trong bài toán mái lều, khay hoặc vật không kín, cần chọn đúng những mặt được phủ thay vì luôn dùng diện tích toàn phần.
Thể tích
Thể tích hình lăng trụ đứng bằng diện tích một mặt đáy nhân với chiều cao:
$$V=S_{đáy}\cdot h.$$
Hai công thức dùng hai đại lượng khác nhau:
- $S_{xq}$ cần **chu vi đáy** $C_{đáy}$;
- $V$ cần **diện tích đáy** $S_{đáy}$.
Nếu đáy là tam giác hoặc hình thang, phải tính diện tích đáy trước. Chiều cao dùng trong công thức thể tích là chiều cao của lăng trụ, không phải chiều cao của tam giác hay hình thang đáy.
Ví dụ: lăng trụ đứng tam giác
Một lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông $6$ cm, $8$ cm và cạnh huyền $10$ cm. Chiều cao lăng trụ là $15$ cm.
Chu vi đáy là $6+8+10=24$ cm, nên
$$S_{xq}=24\cdot15=360\text{ cm}^2.$$
Diện tích đáy là
$$S_{đáy}=\frac12\cdot6\cdot8=24\text{ cm}^2,$$
nên
$$V=24\cdot15=360\text{ cm}^3.$$
Hai kết quả cùng có số đo $360$ nhưng đơn vị và ý nghĩa hoàn toàn khác nhau.
Tính diện tích xung quanh
Một lăng trụ đứng tam giác có ba cạnh đáy dài $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm và chiều cao lăng trụ $10$ cm. Diện tích xung quanh bằng
$60$ cm$^2$ là kết quả lấy nửa chu vi nhân chiều cao.
Đã chỉ dùng cạnh đáy $5$ cm thay vì toàn bộ chu vi đáy.
$12$ cm là chu vi đáy, chưa nhân chiều cao.
Đúng. Diện tích xung quanh bằng chu vi đáy nhân chiều cao.
Lời giải
Chu vi đáy là $3+4+5=12$ cm. Do đó $S_{xq}=12\cdot10=120$ cm$^2$. Chọn D.
Tính thể tích lăng trụ
Một lăng trụ đứng có diện tích một đáy bằng $24$ cm$^2$ và chiều cao bằng $7$ cm. Thể tích bằng
Không cộng diện tích đáy với chiều cao.
Đúng. Thể tích bằng diện tích một đáy nhân chiều cao.
Không lấy hiệu hai đại lượng.
Đã nhân thêm $2$ như khi tính hai mặt đáy; công thức thể tích không có hệ số $2$.
Lời giải
Ta có $V=S_{đáy}\cdot h=24\cdot7=168$ cm$^3$. Chọn B.
Kiến thức cần nhớ
Với lăng trụ đứng, $S_{xq}=C_{đáy}h$ và $V=S_{đáy}h$. Diện tích xung quanh dùng chu vi đáy; thể tích dùng diện tích đáy. Chiều cao $h$ là chiều cao của lăng trụ.