Phép chia hết và chia hai đơn thức
Cho hai đa thức $A$ và $B$, với $B$ khác đa thức không. Nếu có đa thức $Q$ sao cho
$$A=BQ,$$
thì phép chia $A:B$ là phép chia hết và $Q$ là thương.
Với hai đơn thức $ax^m$ và $bx^n$, trong đó $m,n\in\mathbb N$, $b\ne0$, nếu $m\ge n$ thì
$$ax^m:bx^n=\frac{a}{b}x^{m-n}.$$
Khi chia một đa thức cho một đơn thức, chia từng hạng tử cho đơn thức đó nếu các phép chia đều thực hiện được.
Đặt tính chia đa thức
Trước khi chia, thu gọn và sắp xếp hai đa thức theo lũy thừa giảm của biến. Nếu khuyết một bậc, để trống hoặc viết hạng tử có hệ số $0$.
Mỗi lượt chia gồm:
1. Chia hạng tử bậc cao nhất của phần đang chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.
2. Viết kết quả vào thương.
3. Nhân đa thức chia với hạng tử vừa tìm.
4. Lấy phần đang chia trừ tích đó rồi tiếp tục.
Phép chia có dư
Nếu phép chia không hết, ta nhận được thương $Q$ và dư $R$ sao cho
$$A=BQ+R,$$
trong đó $R=0$ hoặc bậc của $R$ nhỏ hơn bậc của $B$.
Khi bậc của dư đã nhỏ hơn bậc của đa thức chia, phép chia phải dừng. Sau khi chia, nhân $B$ với $Q$ rồi cộng $R$ để kiểm tra có thu được đúng $A$ hay không.
Ví dụ: chia có dư
Chia $A=x^3+2x^2-x+3$ cho $B=x+1$.
- $x^3:x=x^2$. Trừ $(x+1)x^2=x^3+x^2$, còn $x^2-x+3$.
- $x^2:x=x$. Trừ $(x+1)x=x^2+x$, còn $-2x+3$.
- $(-2x):x=-2$. Trừ $(x+1)(-2)=-2x-2$, còn $5$.
Vậy thương là $Q=x^2+x-2$, dư là $R=5$. Kiểm tra:
$$(x+1)(x^2+x-2)+5=x^3+2x^2-x+3=A.$$
Chia đa thức cho đơn thức
Kết quả của $(-12x^5+6x^3):(-3x^2)$ là
Hạng tử thứ hai phải mang dấu âm.
Thương của hai hệ số âm ở hạng tử đầu phải dương.
Đúng. Kết quả là $4x^3-2x$.
Khi chia lũy thừa cùng cơ số phải trừ số mũ, không cộng.
Lời giải
Chia từng hạng tử: $(-12x^5):(-3x^2)=4x^3$ và $6x^3:(-3x^2)=-2x$. Chọn C.
Chia hết hai đa thức
Thương của $(x^3-2x^2+4x-8):(x-2)$ là
$(x-2)(x^2-4)$ không bằng đa thức bị chia.
Hạng tử $x$ trong thương làm xuất hiện các hạng tử không phù hợp.
Hệ số của $x^2$ sau khi nhân kiểm tra không bằng $-2$.
Đúng. $(x-2)(x^2+4)$ bằng đúng đa thức bị chia.
Lời giải
Đặt tính chia được thương $x^2+4$ và dư $0$. Có thể kiểm tra $(x-2)(x^2+4)=x^3-2x^2+4x-8$. Chọn D.
Kiến thức cần nhớ
Khi chia đa thức, phải sắp xếp theo bậc giảm, thực hiện từng lượt chia–nhân–trừ và dừng đúng lúc. Kết quả luôn được kiểm tra bằng $A=BQ+R$.