Hai đường gặp nhau như thế nào?
Tọa độ cho phép quyết định hai đường cắt nhau, song song hay trùng nhau mà không chỉ dựa vào hình vẽ. Khi đã biết phương trình, ta còn tính được góc và khoảng cách.
Xét vị trí tương đối
Hai pháp tuyến không cùng phương thì hai đường cắt nhau. Nếu pháp tuyến cùng phương, lấy một điểm trên đường thứ nhất để kiểm đường thứ hai: điểm thuộc thì hai đường trùng nhau, không thuộc thì song song.
Cũng có thể giải hệ hai phương trình: một nghiệm → cắt nhau; vô nghiệm → song song; vô số nghiệm → trùng nhau. Tránh chia tỉ số hệ số khi có hệ số bằng $0$.
Tìm giao điểm
Hai đường $d_1:x+y-3=0$ và $d_2:x-y-1=0$ có giao điểm thỏa $x+y=3,x-y=1$. Cộng hai phương trình được $x=2$, rồi $y=1$.
Hai pháp tuyến $(1;1)$ và $(1;-1)$ có tích vô hướng $0$, nên hai đường vuông góc.
Góc giữa hai đường thẳng
Góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng được lấy trong $[0^\circ;90^\circ]$. Với pháp tuyến $\vec n_1=(a_1;b_1)$, $\vec n_2=(a_2;b_2)$:
$$\cos\varphi=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$
Dấu giá trị tuyệt đối giúp chọn góc không tù. Đây là điểm khác công thức góc giữa hai vectơ. Khi hai đường cho bằng tham số, mỗi đường có tham số riêng nếu lập hệ tìm giao điểm.
Tính một góc không vuông
Đường $y=0$ có pháp tuyến $(0;1)$; đường $x-y=0$ có pháp tuyến $(1;-1)$.
$$\cos\varphi=\frac{|0\cdot1+1(-1)|}{1\cdot\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}.$$
Vậy góc giữa hai đường là $45^\circ$, không phải $135^\circ$.
Khoảng cách từ điểm đến đường
Với $M(x_0;y_0)$ và $d:ax+by+c=0$:
$$d(M,d)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
Khoảng cách là độ dài đoạn vuông góc từ điểm đến đường, luôn không âm và bằng $0$ khi điểm thuộc đường.
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Tính khoảng cách từ $M(1;2)$ đến $d:3x+4y-1=0$:
$$d(M,d)=\frac{|3\cdot1+4\cdot2-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2.$$
Nếu nhân phương trình đường thẳng với $2$, tử và mẫu cùng nhân $2$, kết quả vẫn bằng $2$.
Song song hay trùng?
Hai đường $x+2y-1=0$ và $2x+4y+3=0$ có vị trí gì?
Pháp tuyến cùng phương nhưng không cùng tập điểm.
Hằng số không cùng tỉ lệ.
Pháp tuyến cùng phương, không vuông góc.
Hệ hai phương trình vô nghiệm.
Lời giải
Nhân phương trình đầu với $2$, ta được $2x+4y-2=0$. Phương trình này có hai hệ số của $x,y$ giống đường thẳng thứ hai, nhưng hằng số tự do khác. Vì vậy hai đường thẳng song song và không trùng nhau. Chọn A.
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Khoảng cách từ $A(2;-1)$ đến đường thẳng $d:4x-3y+4=0$ bằng
Đúng: tử số là $15$ và độ dài pháp tuyến là $5$.
Tung độ $-1$ phải được thay cùng dấu của hệ số $-3$.
Cần chia tử số cho độ dài của vectơ pháp tuyến.
Tử số chưa tính đủ hằng số và dấu của tung độ.
Lời giải
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
$$d(A,d)=\frac{|4\cdot2-3(-1)+4|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}
=\frac{15}{5}=3.$$
Những điều cần nhớ
Vị trí dùng pháp tuyến hoặc hệ phương trình. Góc đường thẳng dùng trị tuyệt đối để lấy góc không tù. Khoảng cách dùng tọa độ điểm thay vào phương trình và chia độ dài pháp tuyến.
Đang học