Viết vectơ bằng hai con số
Trên mặt phẳng tọa độ đã quen thuộc, ta dùng hai vectơ đơn vị $\vec i,\vec j$ lần lượt theo chiều dương của $Ox,Oy$. Nếu $\vec u=x\vec i+y\vec j$, ta viết $\vec u=(x;y)$. Hai tọa độ cho biết các thành phần theo hai trục.
Phép toán theo từng tọa độ
Với $\vec u=(u_1;u_2)$, $\vec v=(v_1;v_2)$:
$$\vec u+\vec v=(u_1+v_1;u_2+v_2),\quad \vec u-\vec v=(u_1-v_1;u_2-v_2),$$
$$k\vec u=(ku_1;ku_2),\qquad |\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.$$
Hai vectơ bằng nhau khi các tọa độ tương ứng bằng nhau. Để xét cùng phương, tìm một số $k$ thỏa đồng thời cả hai tọa độ trong $\vec u=k\vec v$ với $\vec v\ne\vec0$. Cách này không cần chia cho tọa độ có thể bằng $0$.
Phép toán và cùng phương
Cho $\vec u=(2;-1)$, $\vec v=(-4;2)$. Ta nhận ra $\vec v=-2\vec u$, nên hai vectơ cùng phương, ngược hướng.
Có $2\vec u+\vec v=(4;-2)+(-4;2)=(0;0)$. Độ dài $|\vec u|=\sqrt5$ và $|\vec v|=\sqrt{20}=2\sqrt5$, đúng với hệ số $|-2|=2$.
Từ hai điểm đến vectơ
Cho $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$:
$$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A),\qquad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$$
Lấy tọa độ **điểm cuối trừ điểm đầu**. Nếu đảo chiều, cả hai tọa độ đổi dấu nhưng độ dài không đổi.
Trung điểm và trọng tâm bằng tọa độ
Trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ là trung bình từng cặp tọa độ. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là trung bình từng bộ ba:
$$I\left(\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2\right),\quad G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}3;\frac{y_A+y_B+y_C}3\right).$$
Với $A(1;2), B(5;4), C(0;6)$, ta có $\overrightarrow{AB}=(4;2)$, $AB=2\sqrt5$, $I(3;3)$ và $G(2;4)$. Các công thức là cách viết theo tọa độ của hệ thức vectơ trung điểm và trọng tâm đã học.
Tính đúng chiều
Với $A(-1;3)$, $B(2;-2)$, tọa độ $\overrightarrow{AB}$ là gì?
Đã trừ đúng cả hai tọa độ.
Đây là vectơ BA.
Đã cộng tọa độ hai điểm thay vì lấy điểm cuối trừ điểm đầu.
Tung độ phải là −2−3.
Lời giải
$\overrightarrow{AB}=(2-(-1);-2-3)=(3;-5)$.
Tìm điểm từ tọa độ trung điểm
Cho $A(2;-1)$ và trung điểm $I(4;3)$ của đoạn $AB$. Tọa độ $B$ và độ dài $AB$ là:
Tung độ của B phải là 7, không phải 5.
Hoành độ của B phải là 6; độ dài cũng không bằng 8.
Đúng. Đảo công thức trung điểm rồi dùng công thức khoảng cách.
Đã dùng sai công thức trung điểm theo từng tọa độ.
Lời giải
Từ công thức trung điểm,
$$x_B=2x_I-x_A=8-2=6,$$
$$y_B=2y_I-y_A=6-(-1)=7.$$
Vậy $B(6;7)$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(4;8)$ và
$$AB=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5.$$
Chọn C.
Những điều cần nhớ
Phép toán vectơ thực hiện theo từng tọa độ. Tọa độ vectơ nối hai điểm là cuối trừ đầu; trung điểm và trọng tâm dùng trung bình tọa độ. Phân biệt tọa độ điểm, tọa độ vectơ và độ dài.
Đang học