Sơ đồ hình cây và xác suất

Mỗi nhánh ghi một lựa chọn tiếp theo

Khi phép thử gồm vài bước, viết một danh sách dài dễ bỏ sót hoặc đếm lặp. Sơ đồ cây sắp xếp kết quả theo từng bước; mỗi đường đi từ gốc đến ngọn tương ứng một kết quả hoàn chỉnh.

Dựng cây theo thứ tự phép thử

Từ gốc, vẽ các nhánh cho kết quả của bước đầu. Ở cuối mỗi nhánh, vẽ tiếp các khả năng của bước sau. Ghi rõ kết quả hoàn chỉnh ở các ngọn cây. Muốn tính bằng số ngọn thuận lợi chia tổng số ngọn, phải bảo đảm các kết quả hoàn chỉnh **đồng khả năng**. Cây là cách liệt kê, không tự làm mọi kết quả có xác suất bằng nhau.

Tung đồng xu ba lần

Cây ba lần tung đồng xu với tám chuỗi kết quả; mỗi tầng tương ứng một lần tung.

Tung một đồng xu cân đối ba lần, các lần tung không ảnh hưởng nhau. Kí hiệu $S$ là sấp, $N$ là ngửa. Mỗi lần chia hai nhánh, nên có $2\cdot2\cdot2=8$ kết quả đồng khả năng: $$SSS,SSN,SNS,SNN,NSS,NSN,NNS,NNN.$$ Có đúng hai lần ngửa ở ba kết quả $SNN,NSN,NNS$. Xác suất là $3/8$. Vị trí lần ngửa quan trọng: $SNN$ và $NSN$ là hai kết quả khác nhau.

Hai hộp có các thẻ phân biệt

Hộp I có ba thẻ $1,2,3$; hộp II có hai thẻ $1,2$. Rút đều ngẫu nhiên một thẻ từ mỗi hộp, hai lần rút không ảnh hưởng nhau. Sáu cặp đồng khả năng là $$(1;1),(1;2),(2;1),(2;2),(3;1),(3;2).$$ Để tổng bằng $4$, có $(2;2),(3;1)$, nên xác suất bằng $2/6=1/3$. Ta có thể vẽ ba nhánh ở tầng đầu, mỗi nhánh tách hai nhánh ở tầng sau; danh sách trên chính là sáu ngọn cây.

Khi các nhánh không đồng khả năng

Nếu hộp có hai viên đỏ phân biệt $Đ_1,Đ_2$ và một viên xanh $X$, chọn đều ngẫu nhiên một viên cho ba kết quả đồng khả năng $Đ_1,Đ_2,X$. Nếu gộp thành hai nhánh theo màu thì nhánh đỏ và nhánh xanh không đồng khả năng. Màu đỏ ứng với hai kết quả $Đ_1,Đ_2$, nên xác suất là $2/3$; màu xanh có xác suất $1/3$. Khi cần đếm, có thể đánh số các vật cùng màu để phân biệt các kết quả.

Đếm kết quả hoàn chỉnh

Tung đồng xu cân đối hai lần. Có bao nhiêu chuỗi kết quả?

A4B3C2D8

Tính xác suất bằng biến cố đối

Tung một đồng xu cân đối ba lần, các lần tung không ảnh hưởng nhau. Xác suất có ít nhất một lần ngửa bằng

A$\dfrac78$.B$\dfrac38$.C$\dfrac18$.D$\dfrac12$.

Những điều cần nhớ

Một tầng cho một bước, một ngọn cho một kết quả hoàn chỉnh. Đếm đúng thứ tự và kiểm đồng khả năng trước khi chia số thuận lợi cho tổng số. Cây nhiều ngọn thì kết hợp quy tắc đếm hoặc biến cố đối đã học.