Mỗi giá trị cách trung bình bao xa?
Để xét toàn bộ mẫu, ta nhìn độ lệch của từng giá trị so với trung bình. Bình phương các độ lệch giúp những phần âm và dương không triệt tiêu khi cộng.
Phương sai và độ lệch chuẩn
Với $n$ số liệu và trung bình $\bar x$:
$$s^2=\frac{(x_1-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2}{n},\qquad s=\sqrt{s^2}.$$
Trong chương trình này, mẫu số là $n$. Nếu có bảng tần số, nhân mỗi bình phương độ lệch với tần số tương ứng rồi chia tổng tần số. Công thức tính nhanh là $s^2=(x_1^2+\cdots+x_n^2)/n-\bar x^2$.
Tính phương sai từ bảng số liệu
Với mẫu $2,4,4,6$, có $\bar x=4$.
| Giá trị $x_i$ | 2 | 4 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| $x_i-\bar x$ | −2 | 0 | 0 | 2 |
| $(x_i-\bar x)^2$ | 4 | 0 | 0 | 4 |
Vậy $s^2=(4+0+0+4)/4=2$ và $s=\sqrt2\approx1{,}41$. Nếu số liệu đo bằng cm thì $s$ cũng tính bằng cm, còn $s^2$ tính bằng cm².
Cùng trung bình, khác độ phân tán
Hai mẫu A: $4,5,6$ và B: $1,5,9$ đều có trung bình $5$.
$$s_A^2=\frac{1+0+1}{3}=\frac23,\qquad s_B^2=\frac{16+0+16}{3}=\frac{32}{3}.$$
Mẫu A có phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ hơn, nên số liệu tập trung quanh trung bình hơn. Nếu đây là các lần đo cùng một đại lượng trong điều kiện tương đương, ta nói kết quả của A ổn định hơn theo tiêu chí độ phân tán.
Kết luận trong phạm vi số liệu
Độ lệch chuẩn nhỏ cho biết mức phân tán nhỏ, chưa đủ nói kết quả “tốt hơn” trong mọi tình huống. Khi so sánh điểm số, chẳng hạn, cần nhìn cả mức trung bình và độ phân tán.
Phương sai bằng $0$ khi tất cả giá trị đều bằng nhau. Khi dùng máy tính, chọn kết quả ứng với công thức chia $n$ của bài học; giữ đủ chữ số trung gian, làm tròn kết quả cuối.
Khi nào phương sai bằng 0?
Mẫu nào có phương sai bằng $0$?
Không có độ phân tán.
Các giá trị vẫn khác nhau.
Trung bình bằng $0$ không làm phương sai bằng $0$.
Hai giá trị $1$ và $2$ vẫn khác nhau.
Lời giải
Trong mẫu $3,3,3,3$, mọi giá trị đều bằng số trung bình $3$, nên mọi độ lệch đều bằng $0$.
Tính trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn
Với mẫu $1,3,5,7$, bộ giá trị $\left(\bar x;s^2;s\right)$ nào đúng?
Phương sai phải chia tổng bình phương độ lệch cho 4.
Đúng. Trung bình bằng 4, phương sai bằng 5 và độ lệch chuẩn là căn của phương sai.
Đã dùng sai tổng bình phương độ lệch.
Số trung bình của mẫu là 4, không phải 5.
Lời giải
Số trung bình là
$$\bar x=\frac{1+3+5+7}{4}=4.$$
Các bình phương độ lệch là $9,1,1,9$, có tổng 20. Vì chương trình dùng mẫu số $n=4$,
$$s^2=\frac{20}{4}=5,\qquad s=\sqrt5\approx2{,}24.$$
Chọn B.
Lựa chọn số đặc trưng phù hợp
Trước khi tính, xác định mẫu và số quan sát. Dùng các số trung tâm để mô tả mức điển hình, các số phân tán để mô tả độ trải rộng. Kết luận cần gắn với ý nghĩa dữ liệu và tiêu chí đang dùng.
Đang học