Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát

Diễn tả một đường thẳng bằng phương trình

Một phương trình đường thẳng cho phép kiểm tra điểm nằm trên đường, tìm giao điểm và tính khoảng cách. Ta bắt đầu từ một điểm đã biết và một vectơ vuông góc với đường thẳng.

Vectơ pháp tuyến

Vectơ khác $\vec0$ có giá vuông góc với đường thẳng $d$ gọi là vectơ pháp tuyến của $d$. Nếu $\vec n$ là pháp tuyến thì mọi bội khác $0$ của nó cũng là pháp tuyến. Cho $d$ qua $M_0(x_0;y_0)$ và nhận $\vec n=(a;b)\ne\vec0$ làm pháp tuyến. Điểm $M(x;y)$ thuộc $d$ khi $\overrightarrow{M_0M}\cdot\vec n=0$, nên $$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0.$$ Thu gọn thành $ax+by+c=0$, với $a,b$ không đồng thời bằng $0$: đó là phương trình tổng quát.

Viết từ điểm và pháp tuyến

Đường thẳng 2x − y = 0 qua A(1;2) và vectơ pháp tuyến (2;−1).

Đường thẳng qua $A(1;2)$, có pháp tuyến $(2;-1)$, có phương trình $$2(x-1)-(y-2)=0\quad\Rightarrow\quad2x-y=0.$$ Kiểm điểm $A$: $2\cdot1-2=0$. Hai hệ số của $x,y$ là $2,-1$, đúng tọa độ pháp tuyến đã cho.

Đọc và kiểm tra phương trình

Từ $3x+2y-5=0$, đọc được pháp tuyến $(3;2)$. Điểm $(1;1)$ thuộc đường vì $3+2-5=0$. Nhân toàn bộ phương trình với một số khác $0$ không đổi đường thẳng. Vì vậy $3x+2y-5=0$ và $6x+4y-10=0$ mô tả cùng một đường.

Đường thẳng đứng và ngang

Đường $x=3$ có pháp tuyến $(1;0)$, là đường thẳng đứng. Đường $y=-2$ có pháp tuyến $(0;1)$, là đường nằm ngang. Khi $b\ne0$, có thể viết $ax+by+c=0$ thành $y=-\frac abx-\frac cb$. Nhưng đường thẳng đứng không viết được dưới dạng $y=kx+m$; dạng tổng quát vẫn dùng được.

Chọn một pháp tuyến

Đường $4x-3y+2=0$ nhận vectơ nào làm pháp tuyến?

A$(4;-3)$B$(3;4)$C$(4;3)$D$(2;0)$

Viết phương trình tổng quát

Đường thẳng đi qua $B(-2;1)$ và có vectơ pháp tuyến $(1;3)$ có phương trình nào?

A$x+3y-1=0$.B$x+3y+1=0$.C$3x-y+7=0$.D$x-3y+5=0$.

Những điều cần nhớ

Pháp tuyến vuông góc với đường và phải khác vectơ-không. Điểm cùng pháp tuyến cho phương trình $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$; thu gọn rồi kiểm lại điểm.