Chọn công cụ đã học
| Nội dung | Điểm xuất phát |
|---|---|
| Hàm số bậc hai | Miền xác định, đỉnh, trục đối xứng và chiều mở |
| Tam thức và phương trình căn | Dấu theo nghiệm; bình phương rồi thử lại |
| Tọa độ mặt phẳng | Vectơ pháp tuyến/chỉ phương; tâm, bán kính; dạng chính tắc conic |
| Tổ hợp | Có xét thứ tự không? Chọn từng bước hay chia trường hợp? |
| Xác suất | Không gian mẫu đồng khả năng, đếm số kết quả thuận lợi |
Bài tổng hợp vẫn dùng những công cụ này. Không cần đạo hàm, xác suất có điều kiện hay kiến thức lớp trên.
Từ đỉnh đến bất phương trình
Parabol $y=a(x-2)^2-1$ đi qua $(0;3)$ nên $3=4a-1$, suy ra $a=1$. Vậy $f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.
Đồ thị có đỉnh $(2;-1)$, mở lên; giảm trên $(-\infty;2)$ và tăng trên $(2;+\infty)$. Vì hai nghiệm là $1,3$, bất phương trình $f(x)\le0$ có tập nghiệm $[1;3]$.
Thử nghiệm sau khi bình phương
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{x+2}=x$ là
Đúng: chỉ $x=2$ thỏa phương trình ban đầu.
$x=-1$ là nghiệm ngoại lai sinh ra khi bình phương.
$x=2$ cũng là một nghiệm và $x=-1$ không thỏa.
Phương trình có nghiệm $x=2$.
Lời giải
Bình phương hai vế cho
$$x+2=x^2\quad\Longleftrightarrow\quad(x-2)(x+1)=0,$$
nên có hai giá trị cần thử là $2$ và $-1$. Giá trị $x=2$ thỏa phương trình ban đầu; $x=-1$ cho hai vế lần lượt là $1$ và $-1$, nên bị loại. Vậy tập nghiệm là $\{2\}$.
Đường tròn và tiếp tuyến
Đường tròn $(x-1)^2+(y+2)^2=25$ có tâm $I(1;-2)$, bán kính $5$. Điểm $M(4;2)$ thuộc đường tròn vì $3^2+4^2=25$.
Tiếp tuyến tại $M$ nhận $\overrightarrow{IM}=(3;4)$ làm pháp tuyến, nên $3(x-4)+4(y-2)=0$, hay $3x+4y-20=0$. Khoảng cách từ $I$ tới đường này bằng $|-25|/5=5$, đúng bằng bán kính.
Dùng khai triển để tính gần đúng
Theo nhị thức Newton,
$$(1+t)^4=1+4t+6t^2+4t^3+t^4.$$
Với $t=0{,}01$, ta được $(1{,}01)^4=1{,}04060401$. Nếu chỉ giữ $1+4t=1{,}04$, phần bỏ đi là $0{,}00060401$. Khi nói gần đúng cần xét các số hạng đã bỏ, không coi khai triển thiếu là một đẳng thức.
Đếm rồi tính xác suất
Từ năm thẻ đánh số $1,2,3,4,5$, rút ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ. Xác suất để tổng hai số trên thẻ là số chẵn bằng
Đúng: có bốn cặp thuận lợi trong mười cặp đồng khả năng.
Phương án này mới tính một phần các cặp cùng tính chẵn lẻ.
Số cặp thuận lợi không bằng một nửa tổng số cặp.
Cần đếm các cặp có tổng chẵn, không phải tổng lẻ.
Lời giải
Có $\binom52=10$ cặp thẻ đồng khả năng. Tổng chẵn khi hai số cùng tính chẵn lẻ. Có $2$ số chẵn và $3$ số lẻ, nên số cặp thuận lợi là
$$\binom22+\binom32=1+3=4.$$
Vì rút đồng thời nên không xét thứ tự. Xác suất cần tìm là $4/10=2/5$.
Kiểm tra sau khi ôn tập
Nên giải lại các câu trước khi xem lời giải, rồi kiểm tra điều kiện, kết quả và cách trình bày. Với conic, cần đối chiếu bảng công thức của từng bài để tránh nhầm quan hệ giữa $a,b,c$ và vị trí tiêu điểm của parabol.
Đang học