Hàm số, tập xác định và đồ thị

Xét $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$. Căn bậc hai yêu cầu $x+2\ge0$, còn mẫu yêu cầu $x\ne1$. Kết hợp được $D=[-2;1)\cup(1;+\infty)$. Đầu mút $-2$ được lấy vì căn bằng $0$ vẫn có nghĩa và mẫu khác $0$; số $1$ bị loại vì mẫu bằng $0$.

Một dịch vụ giả định tính phí $10x$ nghìn đồng khi dùng $0\le x\le2$ giờ, và $20+8(x-2)$ nghìn đồng khi $2<x\le5$ giờ. Với $x=2$, dùng công thức đầu: phí $20$ nghìn đồng. Với $x=3$, dùng công thức sau: phí $28$ nghìn đồng. Cần xác định $x$ thuộc khoảng nào trước khi thay số.

Hàm số đồng biến trên một khoảng nếu khi $x$ tăng thì $f(x)$ tăng; nghịch biến nếu khi $x$ tăng thì $f(x)$ giảm. Nói chính xác, với mọi $x_1<x_2$ trong khoảng, đồng biến có $f(x_1)<f(x_2)$, nghịch biến có $f(x_1)>f(x_2)$. Trên đồ thị $y=x^2$, đi từ trái sang phải: nhánh trái đi xuống, nhánh phải đi lên. Vì vậy hàm nghịch biến trên $(-\infty;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty)$. Không chỉ so sánh hai điểm tùy chọn để kết luận cho cả khoảng.