Hàm số bậc hai và parabol

Từ y = ax² đến dạng tổng quát

Hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2+bx+c$, với $a\ne0$. Đồ thị vẫn là parabol, nhưng đỉnh không nhất thiết ở gốc tọa độ.

Đỉnh và hướng mở

Đặt $\Delta=b^2-4ac$. Parabol có đỉnh $$I\left(-\frac b{2a};-\frac\Delta{4a}\right),$$ trục đối xứng $x=-b/(2a)$. Nếu $a>0$, parabol mở lên; nếu $a<0$, mở xuống. Dạng $y=a(x-h)^2+k$ cho thấy ngay đỉnh $I(h;k)$. Để vẽ, xác định đỉnh và trục, tìm giao với các trục nếu có, thêm các cặp điểm đối xứng rồi nối thành đường cong.

Vẽ y = x² − 4x + 3

Parabol y = x² − 4x + 3 có đỉnh I(2;−1), trục x = 2 và hai nghiệm 1,3.

Viết $y=(x-2)^2-1$. Đỉnh $I(2;-1)$, trục $x=2$, parabol mở lên. Cho $x=0$ được điểm $(0;3)$; giải $x^2-4x+3=0$ được hai giao điểm $(1;0),(3;0)$. | $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---|---| | $y$ | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 | Từ đồ thị, hàm giảm trên $(-\infty;2)$, tăng trên $(2;+\infty)$ và có giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=2$.

Đọc tính chất từ đỉnh

Gọi hoành độ đỉnh là $h$ và tung độ đỉnh là $k$. - Mở lên: nghịch biến trên $(-\infty;h)$, đồng biến trên $(h;+\infty)$, nhỏ nhất là $k$. - Mở xuống: đồng biến trên $(-\infty;h)$, nghịch biến trên $(h;+\infty)$, lớn nhất là $k$. Đây là tính chất trên toàn bộ $\mathbb R$. Nếu đề giới hạn $x$ trong một đoạn, cần xem đỉnh có nằm trong đoạn đó hay không.

Xác định hàm từ đỉnh và một điểm

Parabol có đỉnh $I(1;2)$ và đi qua $A(3;10)$. Viết $y=a(x-1)^2+2$. Thay tọa độ $A$: $$10=4a+2\quad\Rightarrow\quad a=2.$$ Vậy $y=2(x-1)^2+2=2x^2-4x+4$. Dạng đỉnh giúp dùng ngay dữ kiện đỉnh, không cần giải hệ ba ẩn.

Diện tích lớn nhất của một mảnh vườn

Hình chữ nhật có hai cạnh x và 12 trừ x cùng đồ thị diện tích S bằng x nhân 12 trừ x, đạt đỉnh tại x bằng 6 và S bằng 36. — Mỗi giá trị x cho một hình chữ nhật; đỉnh parabol cho diện tích lớn nhất.

Dùng $24$ m rào làm đủ bốn cạnh một mảnh vườn hình chữ nhật. Gọi một cạnh là $x$ m, cạnh kia là $12-x$ m, với $0<x<12$. $$S=x(12-x)=-(x-6)^2+36.$$ Vì bình phương không âm, $S\le36$, dấu bằng khi $x=6$ thuộc miền cho phép. Vườn hình vuông cạnh $6$ m có diện tích lớn nhất $36$ m². Đã kiểm cả điều kiện kích thước và đơn vị diện tích.

Đọc từ dạng bình phương

Đỉnh của $y=-2(x+3)^2+5$ là gì?

A$(-3;5)$B$(3;5)$C$(-3;-5)$D$(5;-3)$

Xét tính chất của một parabol

Với $y=-x^2+6x-5$, khẳng định nào đúng?

AĐỉnh $(3;-4)$, trục $x=3$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty)$.BĐỉnh $(3;4)$, trục $x=3$, hàm số đồng biến trên $(-\infty;3)$ và nghịch biến trên $(3;+\infty)$; giá trị lớn nhất là $4$.CĐỉnh $(-3;4)$, trục $x=-3$; giá trị lớn nhất là $4$.DĐỉnh $(3;4)$, trục $x=3$; giá trị nhỏ nhất là $4$.

Những điều cần nhớ

Đỉnh, trục đối xứng và hướng mở là các mốc để vẽ parabol. Từ hình, đọc biến thiên và giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất; bài thực tế phải kiểm miền đầu vào.