Từ góc nhọn đến góc tù
Ở lớp dưới, các tỉ số lượng giác sin, cos, tan đã được dùng cho góc nhọn trong tam giác vuông. Để tính với góc tù của một tam giác, ta mở rộng các giá trị này bằng nửa đường tròn đơn vị.
Đọc từ tọa độ điểm
Trên nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $1$, phía trên trục $Ox$, lấy $M(x;y)$ sao cho góc $xOM$ bằng $\alpha$, với $0^\circ\le\alpha\le180^\circ$. Ta đặt
$$\sin\alpha=y,\qquad\cos\alpha=x.$$
Khi $x\ne0$, $\tan\alpha=\dfrac yx$; khi $y\ne0$, $\cot\alpha=\dfrac xy$.
Vì vậy $\tan90^\circ$ không xác định; $\cot0^\circ$ và $\cot180^\circ$ không xác định. Với góc tù, điểm $M$ nằm bên trái trục $Oy$: sin dương, còn cos, tan và cot âm.
Các giá trị thường dùng
| $\alpha$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $180^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $0$ | $1/2$ | $\sqrt2/2$ | $\sqrt3/2$ | $1$ | $0$ |
| $\cos\alpha$ | $1$ | $\sqrt3/2$ | $\sqrt2/2$ | $1/2$ | $0$ | $-1$ |
Khi mẫu khác $0$, tính $\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ và $\cot\alpha=\cos\alpha/\sin\alpha$. Không chia cho $0$ để điền một giá trị vào bảng.
Hai góc bù nhau
Hai điểm ứng với $\alpha$ và $180^\circ-\alpha$ đối xứng qua $Oy$, nên có cùng tung độ và hoành độ đối nhau:
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha.$$
Tương tự, tan và cot của hai góc bù nhau đối nhau, khi các giá trị đều xác định. Ngoài ra, từ $x^2+y^2=1$ có
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$
Với hai góc phụ nhau trong $[0^\circ;90^\circ]$, ta có $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$ và $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$.
Tính giá trị lượng giác của góc tù
Vì $120^\circ=180^\circ-60^\circ$, ta có
$$\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad\cos120^\circ=-\frac12,\quad\tan120^\circ=-\sqrt3.$$
Nếu biết $\sin\alpha=3/5$ và $\alpha$ là góc tù, thì $\cos^2\alpha=1-9/25=16/25$. Cos của góc tù âm, nên $\cos\alpha=-4/5$. Dữ kiện về góc giúp chọn dấu.
Xác định dấu của côsin
$\cos150^\circ$ bằng bao nhiêu?
Đúng cả giá trị lẫn dấu.
Cos của góc tù phải âm.
Giá trị 1/2 là cos 60°, không phải cos 30°.
Sai cả góc quy về và dấu.
Lời giải
$\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\sqrt3/2$.
Tính giá trị lượng giác của góc tù
Bộ ba $\left(\sin135^\circ;\cos135^\circ;\tan135^\circ\right)$ bằng:
Sin của góc $135^\circ$ dương, còn cos âm.
Đúng. Góc $135^\circ$ nằm ở phần nửa đường tròn có tung độ dương, hoành độ âm.
Cos và tan của góc tù phải âm.
Sin của góc trong khoảng $(0^\circ;180^\circ)$ không âm; tan ở góc này âm.
Lời giải
Vì $135^\circ=180^\circ-45^\circ$, hai góc bù nhau có cùng sin, còn cos và tan đối nhau. Do đó
$$\sin135^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad
\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2},\quad
\tan135^\circ=-1.$$
Chọn B.
Khi dùng máy tính
Các góc trong bài đo bằng độ, nên chọn chế độ DEG. Nếu biết $\sin\alpha=1/2$ và $0^\circ\le\alpha\le180^\circ$, cả $30^\circ$ và $150^\circ$ đều phù hợp. Máy tính trả về một góc chưa có nghĩa đó là góc duy nhất.
Những điều cần nhớ
Sin là tung độ, cos là hoành độ trên nửa đường tròn đơn vị. Dùng góc bù để đưa góc tù về góc nhọn, rồi kiểm dấu và điều kiện xác định trước khi tính tan, cot.
Đang học