Một tổng khoảng cách không đổi
Cố định hai điểm $F_1,F_2$, đặt một vòng dây căng quanh hai điểm và đầu bút. Khi đầu bút chuyển động mà dây vẫn căng, tổng khoảng cách từ đầu bút đến hai điểm không đổi; đường vẽ được là elip.
Hai tiêu điểm và tiêu cự
Elip là tập hợp các điểm $M$ có $MF_1+MF_2=2a$, với $2a>F_1F_2>0$. Hai điểm $F_1,F_2$ là tiêu điểm, khoảng cách $F_1F_2=2c$ là tiêu cự.
Chọn trung điểm hai tiêu điểm làm $O$, trục $Ox$ đi qua chúng: $F_1(-c;0),F_2(c;0)$. Phương trình chính tắc là
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad a>b>0,\quad c^2=a^2-b^2.$$
Hai mẫu số là $a^2,b^2$, không phải $a,b$.
Đọc một elip
Với $x^2/25+y^2/9=1$, ta có $a=5,b=3,c=\sqrt{25-9}=4$.
Tiêu điểm là $(-4;0),(4;0)$; tiêu cự bằng $8$. Mọi điểm trên elip có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm bằng $2a=10$.
Cho $y=0$ được hai giao trục $(-5;0),(5;0)$; cho $x=0$ được $(0;-3),(0;3)$. Độ dài trục lớn là $10$, trục nhỏ là $6$.
Viết phương trình từ dữ kiện
Elip có hai tiêu điểm $(-3;0),(3;0)$ và tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm bằng $10$. Có $c=3,a=5$, nên $b^2=a^2-c^2=25-9=16$.
Vậy phương trình chính tắc là $x^2/25+y^2/16=1$. Điều kiện $a>c$ được thỏa vì $5>3$.
Vận dụng định nghĩa elip
Nếu một điểm $M$ thuộc elip có $2a=10$ và $MF_1=4$, thì $MF_2=6$. Không cần tính tọa độ $M$ nếu đề chỉ hỏi khoảng cách còn lại.
Cần phân biệt tiêu cự $2c$ với tổng khoảng cách $2a$. Số thứ nhất là khoảng cách giữa hai tiêu điểm cố định; số thứ hai là tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm.
Tính tiêu cự
Elip $x^2/16+y^2/7=1$ có tiêu cự bao nhiêu?
Đúng: đã tính $c$ rồi lấy $2c$.
Đây mới là giá trị của $c$.
Đây là độ dài trục lớn $2a$.
Elip dùng hiệu $a^2-b^2$, không dùng tổng.
Lời giải
$c=3$, nên tiêu cự bằng $2c=6$.
Viết phương trình chính tắc của elip
Elip chính tắc có $a=4$ và tiêu cự bằng $4$. Phương trình elip và tổng khoảng cách từ một điểm trên elip đến hai tiêu điểm lần lượt là
Đúng: $b^2=12$ và tổng khoảng cách bằng $2a=8$.
Mẫu số thứ hai và tổng khoảng cách đều chưa đúng.
$a^2$ phải là mẫu số dưới $x^2$, không phải $a$.
Dấu trừ là dạng của hypebol, không phải elip.
Lời giải
Tiêu cự bằng $2c=4$ nên $c=2$. Vì $a=4$ nên
$$b^2=a^2-c^2=16-4=12.$$
Phương trình elip là $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$. Tổng khoảng cách từ một điểm trên elip đến hai tiêu điểm luôn bằng $2a=8$.
Những điều cần nhớ
Elip dùng **tổng** khoảng cách. Dạng chính tắc có dấu cộng, $a>b>0$, và $c^2=a^2-b^2$. Phân biệt $a$ với $a^2$, $c$ với tiêu cự $2c$.
Đang học