Mọi điểm cùng cách tâm một khoảng
Đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R>0$ gồm các điểm $M(x;y)$ thỏa $IM=R$. Bình phương công thức khoảng cách cho phương trình quen thuộc dưới dạng tọa độ.
Phương trình tâm–bán kính
$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,\qquad R>0.$$
Ví dụ $(x-2)^2+(y+1)^2=9$ có tâm $I(2;-1)$, bán kính $R=3$, không phải $9$.
Nếu khai triển thành $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$, cần $a^2+b^2-c>0$ và $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$. Nếu tổng bình phương bằng $0$, tập điểm chỉ là một điểm; bằng số âm thì không có điểm thực.
Đưa về dạng đọc được tâm
Với $x^2+y^2-4x+2y-4=0$, ta viết
$$(x-2)^2-4+(y+1)^2-1-4=0,$$
nên $(x-2)^2+(y+1)^2=9$. Tâm là $(2;-1)$ và bán kính $3$. Hoàn thành bình phương giúp tránh nhầm dấu tọa độ tâm.
Đường tròn qua ba điểm
Tìm đường tròn qua $A(0;0),B(4;0),C(0;6)$. Tâm nằm trên trung trực $AB$ là $x=2$, đồng thời trên trung trực $AC$ là $y=3$.
Vậy tâm $I(2;3)$, $R^2=IA^2=2^2+3^2=13$. Phương trình là $(x-2)^2+(y-3)^2=13$.
Với ba điểm không thẳng hàng bất kì, ta cũng lập hai đường trung trực rồi giải hệ hai ẩn tìm tâm. Nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng, không có đường tròn đi qua cả ba.
Tiếp tuyến vuông góc với bán kính
Tại điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn tâm $I(a;b)$, tiếp tuyến nhận $\overrightarrow{IM}=(x_0-a;y_0-b)$ làm pháp tuyến. Do đó
$$(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0.$$
Trước khi áp dụng, kiểm $M$ có thuộc đường tròn. Bài này xét tiếp tuyến **tại điểm đã biết trên đường tròn**.
Viết tiếp tuyến tại M
Đường tròn $(x-1)^2+(y+2)^2=25$ có tâm $I(1;-2)$. Điểm $M(4;2)$ thuộc đường vì $3^2+4^2=25$.
Bán kính $\overrightarrow{IM}=(3;4)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến. Vậy tiếp tuyến là
$$3(x-4)+4(y-2)=0\quad\Rightarrow\quad3x+4y-20=0.$$
Đọc bán kính
Đường $(x+3)^2+(y-2)^2=16$ có tâm và bán kính nào?
Đúng cả dấu và căn.
Hai tọa độ tâm bị đảo dấu.
16 là bình phương bán kính.
Sai cả dấu và độ dài bán kính.
Lời giải
So sánh với dạng $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, ta có $a=-3$, $b=2$ và $R=\sqrt{16}=4$. Vậy tâm là $I(-3;2)$ và bán kính bằng $4$. Chọn A.
Viết tiếp tuyến của đường tròn
Tiếp tuyến của đường tròn $x^2+y^2=25$ tại $A(3;4)$ có phương trình nào?
Đúng: đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với bán kính $OA$.
Đây là đường thẳng đi qua tâm và điểm $A$, không phải tiếp tuyến.
Phương trình không đi qua điểm $A$.
Đường thẳng đi qua $A$ nhưng không vuông góc với bán kính $OA$.
Lời giải
Điểm $A$ thuộc đường tròn vì $3^2+4^2=25$. Đường tròn có tâm $O(0;0)$ nên bán kính $\overrightarrow{OA}=(3;4)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến. Do đó
$$3(x-3)+4(y-4)=0\quad\Longleftrightarrow\quad3x+4y-25=0.$$
Những điều cần nhớ
Đọc tâm bằng cách giữ đúng dấu trong dạng bình phương, bán kính bằng căn vế phải. Tìm tâm qua ba điểm bằng trung trực. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đường tròn vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
Đang học