Định lí sin và giải tam giác

Cho $A=30^\circ$, $B=45^\circ$, $a=6$. Trước hết $C=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ$. Theo định lí sin, $$b=\frac{6\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=6\sqrt2,\qquad c=\frac{6\sin105^\circ}{\sin30^\circ}=12\sin105^\circ\approx11{,}59.$$ Bán kính ngoại tiếp là $R=6/(2\sin30^\circ)=6$. Ta giữ giá trị chính xác hoặc đầy đủ chữ số trong các bước tính, chỉ làm tròn ở kết quả cuối.

Hai vị trí $A,B$ ở cùng một bờ sông cách nhau $50$ m. Nhìn đến điểm $C$ ở bờ đối diện, đo được $A=75^\circ$, $B=60^\circ$ trong tam giác $ABC$. Tìm khoảng cách $AC$. Góc $C=45^\circ$. Cạnh $AC$ đối diện góc $B$, còn $AB$ đối diện góc $C$, nên $$AC=\frac{AB\sin B}{\sin C}=\frac{50\sin60^\circ}{\sin45^\circ}=25\sqrt6\approx61{,}2\text{ m}.$$ Đây là khoảng cách từ $A$ đến $C$, chưa chắc là chiều rộng vuông góc của dòng sông. Phải trả lời đúng đại lượng đề hỏi.

Cho $A=30^\circ$, $a=5$, $b=8$. Định lí sin cho $\sin B=8\sin30^\circ/5=0{,}8$. Trong khoảng $(0^\circ;180^\circ)$, có $B_1\approx53{,}13^\circ$ hoặc $B_2\approx126{,}87^\circ$. Cả hai đều có $A+B<180^\circ$, nên đều cho một tam giác. Góc $C$ tương ứng khoảng $96{,}87^\circ$ hoặc $23{,}13^\circ$. Vậy dữ kiện hai cạnh và một góc không xen giữa có thể xác định hai tam giác. Không chỉ lấy kết quả đầu tiên máy tính trả về.