Tam giác không vuông thì tính cạnh thế nào?
Định lí Pythagore dùng cho tam giác vuông. Định lí côsin mở rộng mối liên hệ giữa ba cạnh, có thêm góc xen giữa hai cạnh đã biết.
Đặt cạnh đối diện đúng góc
Trong tam giác $ABC$, gọi $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. Cạnh $a$ đối diện góc $A$, tương tự cho $b,B$ và $c,C$.
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$
$$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B,\qquad c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$
Góc $A$ là góc xen giữa hai cạnh $b,c$. Khi $A=90^\circ$, $\cos A=0$, công thức trở thành $a^2=b^2+c^2$.
Biết hai cạnh và góc xen giữa
Cho $AB=5$, $AC=8$, $A=60^\circ$. Cần tìm $BC$, ta dùng hai cạnh kề góc $A$:
$$BC^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos60^\circ=25+64-40=49.$$
Vì độ dài dương, $BC=7$. Không lấy $49$ làm độ dài: đó là bình phương độ dài.
Biết ba cạnh, tìm góc
Chuyển vế công thức để được
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$$
Sau khi tính cos, tìm góc trong khoảng $(0^\circ;180^\circ)$. Ba số được cho phải tạo thành tam giác; chẳng hạn cạnh lớn nhất phải nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại.
Một góc tù
Cho $a=7$, $b=3$, $c=5$. Ta có $7<3+5$, nên ba cạnh tạo thành tam giác.
$$\cos A=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5}=-\frac12.$$
Vậy $A=120^\circ$. Kết quả là góc tù, phù hợp với dấu âm của cos. Cạnh $a$ lớn nhất cũng phải đối diện góc lớn nhất.
Chọn đúng góc xen giữa
Biết $AC=b$, $BC=a$ và góc $C$, công thức tính $AB=c$ là gì?
Đúng cạnh đối diện và góc xen giữa.
A không phải góc xen giữa a và b.
Chỉ đúng khi C vuông.
Vế trái phải là bình phương cạnh.
Lời giải
Góc xen giữa $a,b$ là $C$, cạnh đối diện là $c$. Do đó $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Tính cạnh bằng định lí côsin
Tam giác có hai cạnh dài $6$ và $10$, góc xen giữa bằng $60^\circ$. Cạnh đối diện góc $60^\circ$ dài bao nhiêu?
Đây là hiệu hai cạnh, không phải kết quả của định lí côsin.
Giá trị này xuất hiện nếu xử lí sai hạng tử $2\cdot6\cdot10\cos60^\circ$.
Cần trừ $60$, không cộng, vì $\cos60^\circ=\frac12$.
Đúng. Bình phương cạnh cần tìm bằng 76 và lấy căn dương.
Lời giải
Gọi cạnh cần tìm là $x>0$. Theo định lí côsin,
$$x^2=6^2+10^2-2\cdot6\cdot10\cos60^\circ
=36+100-60=76.$$
Vì $x>0$, suy ra $x=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. Chọn D.
Những điều cần nhớ
Hai cạnh và góc xen giữa → tính cạnh còn lại bằng côsin. Ba cạnh → tính cos của góc cần tìm. Vẽ phác tam giác, ghi đúng cặp cạnh–góc đối diện trước khi thay số.
Đang học