Không phải lúc nào cũng biết đường cao
Công thức diện tích quen thuộc là một nửa tích đáy và chiều cao. Khi biết hai cạnh cùng góc xen giữa, hoặc biết ba cạnh, ta có các công thức giúp tính trực tiếp.
Các công thức cần nhớ
Gọi $S$ là diện tích, $p=(a+b+c)/2$ là **nửa chu vi**, $r$ và $R$ lần lượt là bán kính nội tiếp và ngoại tiếp:
$$S=\frac12bc\sin A=\frac12ca\sin B=\frac12ab\sin C,$$
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\qquad S=pr,\qquad S=\frac{abc}{4R}.$$
Công thức chứa căn là công thức Heron. Trong công thức hai cạnh và sin, góc phải là góc xen giữa hai cạnh ấy.
Hai cạnh và góc xen giữa
Tam giác có $AB=6$, $AC=8$, $A=30^\circ$. Diện tích là
$$S=\frac12\cdot6\cdot8\sin30^\circ=12.$$
Có thể hiểu qua chiều cao từ $C$ xuống đường thẳng $AB$: $h=AC\sin A=4$, nên $S=AB\cdot h/2=12$. Công thức sin vẫn đúng khi góc xen giữa là góc tù.
Ba cạnh, rồi tìm cả hai bán kính
Cho tam giác có ba cạnh $5,5,6$. Nửa chu vi là $p=(5+5+6)/2=8$. Theo Heron,
$$S=\sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}=\sqrt{144}=12.$$
Từ đó,
$$r=\frac Sp=\frac{12}8=\frac32,\qquad R=\frac{abc}{4S}=\frac{5\cdot5\cdot6}{48}=\frac{25}8.$$
Không dùng chu vi $16$ thay cho nửa chu vi $8$ trong $S=pr$.
Chọn công thức ngắn gọn
| Dữ kiện | Công thức thuận tiện |
|---|---|
| Hai cạnh và góc xen giữa | $S=\frac12bc\sin A$ |
| Ba cạnh | Heron |
| Nửa chu vi và bán kính nội tiếp | $S=pr$ |
| Ba cạnh và bán kính ngoại tiếp | $S=abc/(4R)$ |
Khi chưa đủ dữ kiện, có thể tìm cạnh còn thiếu bằng định lí côsin rồi dùng Heron. Chỉ tính những đại lượng thật sự cần dùng.
Xác định nửa chu vi
Tam giác có các cạnh $4,5,7$. Giá trị $p$ trong công thức Heron là bao nhiêu?
Đúng nửa chu vi.
Đây là chu vi.
Đã chia thêm một lần.
p không được định nghĩa bằng căn của chu vi.
Lời giải
$p=(4+5+7)/2=8$.
Tính diện tích và bán kính nội tiếp
Tam giác có ba cạnh $13$, $14$, $15$. Diện tích $S$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$ lần lượt bằng:
Đã lấy một nửa diện tích đúng và kéo theo bán kính bị giảm một nửa.
Đúng. Heron cho diện tích 84 và công thức $S=pr$ cho bán kính 4.
Bán kính nội tiếp bằng $S/p=4$, không phải 8.
Diện tích đã bị nhân đôi.
Lời giải
Nửa chu vi là
$$p=\frac{13+14+15}{2}=21.$$
Theo công thức Heron,
$$S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}
=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84.$$
Vì $S=pr$, ta có $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{84}{21}=4$. Chọn B.
Lựa chọn hệ thức phù hợp
Có ba nhóm công cụ chính: côsin để nối cạnh với góc xen giữa; sin để nối các cặp cạnh–góc đối diện; công thức diện tích để nối cạnh, góc và bán kính. Khi gặp bài mới, vẽ hình và ghi dữ kiện, rồi chọn công thức có ít đại lượng chưa biết nhất.
Đang học