Xuất phát từ một điểm, đi theo một hướng
Một đường thẳng cũng được xác định khi biết một điểm trên nó và hướng của đường. Tham số giúp mô tả mọi điểm bằng cách đi một bội số của vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số
Vectơ khác $\vec0$ có giá song song hoặc trùng với $d$ là vectơ chỉ phương của $d$.
Đường qua $M_0(x_0;y_0)$, có chỉ phương $\vec u=(u_1;u_2)$, được viết
$$\begin{cases}x=x_0+tu_1\\y=y_0+tu_2,\end{cases}\qquad t\in\mathbb R.$$
Cả hai tọa độ phải dùng **cùng một giá trị $t$**. Tham số không nhất thiết là thời gian, trừ khi bài toán đã quy định như vậy.
Đường thẳng qua hai điểm
Cho $A(1;-1)$, $B(3;2)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;3)$, một chỉ phương của $AB$.
$$AB:\begin{cases}x=1+2t\\y=-1+3t.\end{cases}$$
$t=0$ cho $A$, $t=1$ cho $B$. Với $t$ chạy trên toàn bộ $\mathbb R$, ta được cả đường thẳng; nếu chỉ lấy $0\le t\le1$ thì được đoạn $AB$.
Chỉ phương và pháp tuyến
Hai vectơ này vuông góc. Nếu chỉ phương là $(u_1;u_2)$, có thể chọn pháp tuyến $(u_2;-u_1)$ vì tích vô hướng bằng $0$.
Ngược lại, đường $ax+by+c=0$ nhận chỉ phương $(b;-a)$. Từ dạng tổng quát, tìm thêm một điểm rồi viết tham số; từ dạng tham số, lấy điểm $t=0$ và đổi chỉ phương thành pháp tuyến để viết tổng quát.
Chuyển dạng mà không chia cho tọa độ
Với đường $x=1+2t,y=-1+3t$, chọn pháp tuyến $(3;-2)$ và điểm $A(1;-1)$:
$$3(x-1)-2(y+1)=0\quad\Rightarrow\quad3x-2y-5=0.$$
Cách này dùng được cả khi một tọa độ chỉ phương bằng $0$. Ví dụ đường qua $(2;1)$ với chỉ phương $(0;3)$ có $x=2,y=1+3t$, và dạng tổng quát là $x-2=0$.
Một điểm có thuộc đường?
Điểm nào thuộc đường $x=1+2t,y=-1+3t$?
Hai tọa độ cùng ứng với t=2.
x=5 cần t=2 nhưng y=2 cần t=1.
Hai tọa độ cần hai t khác nhau.
x=1 cần t=0, khi đó y=−1.
Lời giải
Với $t=2$, ta có $x=5$ và $y=5$, nên điểm $(5;5)$ thuộc đường thẳng. Chọn A.
Viết hai dạng phương trình đường thẳng
Đường thẳng qua $A(0;2)$ và có vectơ chỉ phương $(1;-2)$ được viết đúng ở phương án nào?
Đúng: hai dạng cùng đi qua $A$ và có đúng hướng đã cho.
Vectơ chỉ phương đã bị đổi thành $(1;2)$.
Vectơ $(2;-1)$ không cùng phương với $(1;-2)$.
Đường thẳng trong phương án không đi qua $A(0;2)$.
Lời giải
Từ điểm $A(0;2)$ và vectơ chỉ phương $(1;-2)$, phương trình tham số là
$$\begin{cases}x=t\\y=2-2t.
\end{cases}$$
Vectơ $(2;1)$ vuông góc với $(1;-2)$ nên có thể dùng làm pháp tuyến. Phương trình tổng quát là
$$2(x-0)+(y-2)=0\quad\Longleftrightarrow\quad2x+y-2=0.$$
Những điều cần nhớ
Chỉ phương đi dọc theo đường, pháp tuyến vuông góc với đường. Dạng tham số cần một điểm và một chỉ phương; hai tọa độ của một điểm phải ứng với cùng một giá trị tham số.
Đang học