Từ một cặp nghiệm đến cả miền nghiệm
Có vô số cặp số thỏa mãn một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta không liệt kê từng cặp mà biểu diễn chúng bằng các điểm trên mặt phẳng tọa độ. Những điểm phù hợp tạo thành một nửa mặt phẳng, có thể lấy hoặc bỏ đường bờ.
Vẽ bờ rồi thử một điểm ngoài bờ
Để biểu diễn miền nghiệm của $ax+by\le c$:
1. Vẽ đường thẳng $d:ax+by=c$.
2. Chọn điểm $M$ **không thuộc $d$**, rồi thay tọa độ vào bất phương trình.
3. Nếu $M$ thỏa mãn, lấy nửa mặt phẳng chứa $M$; nếu không thỏa mãn, lấy phía còn lại.
4. Với $\le$ hoặc $\ge$, lấy cả bờ và vẽ bờ nét liền. Với $<$ hoặc $>$, bỏ bờ và vẽ nét đứt.
Gốc $O(0;0)$ thường dễ thử, nhưng chỉ dùng được khi $O$ không nằm trên bờ.
Miền nghiệm của 2x + y ≤ 6
Đường bờ $2x+y=6$ đi qua $A(3;0)$ và $B(0;6)$. Thử $O(0;0)$: $0\le6$ đúng, và $O$ không nằm trên bờ.
Vậy lấy nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa $O$, kể cả bờ. Trong hình, phần tô xanh là miền nghiệm. Miền kéo dài ra ngoài khung hình, không chỉ nằm trong tam giác tạo bởi đường bờ và hai trục: chẳng hạn $(-2;0)$ cũng là nghiệm.
Khi đường bờ đi qua gốc tọa độ
Xét $x-y>0$, có bờ $x-y=0$, tức $y=x$. Gốc $O$ nằm trên bờ nên không thể dùng $O$ để chọn phía.
Ta thử $M(1;0)$: $1-0>0$ đúng. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa $M$, không kể bờ $y=x$. Vì vậy vẽ bờ nét đứt. Điểm $(2;2)$ thuộc bờ nên không thuộc miền nghiệm.
Điểm trên bờ có được lấy?
Miền nghiệm của $x+y<4$ có chứa điểm $(1;3)$ không?
Dấu < loại toàn bộ đường bờ.
Nằm trên bờ chưa đủ: cần xem có lấy bờ không.
Tọa độ dương không đảm bảo tổng nhỏ hơn 4.
Bất phương trình không yêu cầu x lớn hơn y.
Lời giải
$1+3=4$, không thỏa mãn $x+y<4$. Điểm thuộc bờ nhưng bờ bị loại.
Mô tả miền nghiệm
Mô tả nào đúng về miền nghiệm của $x+2y\ge4$?
Dấu $\ge$ yêu cầu lấy bờ; hơn nữa $O$ không thỏa bất phương trình.
Đường bờ đúng và được lấy, nhưng phải chọn phía không chứa $O$.
Đúng. Hai giao điểm, kiểu đường bờ và phía được chọn đều phù hợp.
Hai giao điểm với trục đã bị đổi chỗ.
Lời giải
Đường bờ $x+2y=4$ đi qua $(4;0)$ và $(0;2)$. Vì bất phương trình có dấu $\ge$, bờ được lấy và vẽ nét liền.
Điểm $O(0;0)$ không nằm trên bờ và không thỏa mãn vì $0<4$. Do đó lấy nửa mặt phẳng không chứa $O$, kể cả bờ. Chọn C.
Những điều cần nhớ
Đường bờ chia hai phía; điểm thử giúp chọn phía, còn dấu bất phương trình quyết định lấy hay bỏ bờ. Hai việc này cần được xét riêng. Nếu bờ qua $O$, chọn một điểm thử khác ngoài bờ.
Đang học