Đếm một lựa chọn hay ghép nhiều lựa chọn?
Một hộp có 4 bút xanh và 3 bút đen, mỗi chiếc bút là một vật riêng. Chọn đúng một chiếc: ta chọn bút xanh **hoặc** bút đen, nên có 4+3=7 cách.
Nếu chọn một bút xanh **và** một bút đen, mỗi bút xanh ghép được với 3 bút đen, nên có 4·3=12 cách. Hai phép tính trả lời hai yêu cầu khác nhau.
Hai quy tắc
**Quy tắc cộng:** chia các cách làm thành những trường hợp không trùng nhau. Nếu các trường hợp lần lượt có m,n cách thì tổng là m+n.
**Quy tắc nhân:** công việc gồm hai bước; bước đầu có m cách, và với mỗi cách ấy bước sau đều có n cách. Số cách hoàn thành là m·n. Quy tắc mở rộng tương tự cho nhiều bước.
Cần xác định rõ mỗi số đang đếm điều gì rồi mới cộng hoặc nhân. Chỉ nhìn các từ “và”, “hoặc” trong một câu dài có thể chọn nhầm phép tính.
Ghép một bộ trang phục
Có 3 áo khác nhau và 2 quần khác nhau. Mỗi bộ gồm một áo và một quần.
| Áo | Các bộ có thể tạo |
|---|---|
| A₁ | (A₁,Q₁), (A₁,Q₂) |
| A₂ | (A₂,Q₁), (A₂,Q₂) |
| A₃ | (A₃,Q₁), (A₃,Q₂) |
Mỗi hàng có 2 bộ, có 3 hàng: tổng 3·2=6 bộ. Không cộng 3+2 vì một chiếc áo hoặc một chiếc quần chưa thành bộ.
Hai cách đi riêng biệt
Từ A đến B có 3 tuyến xe buýt và 2 tuyến tàu. Chọn đúng một tuyến để đi. Có bao nhiêu cách?
$6$ là số cách ghép một tuyến mỗi loại.
Đúng: cộng hai nhóm lựa chọn không trùng nhau.
Còn thiếu các tuyến tàu.
Còn thiếu các tuyến xe buýt.
Lời giải
Có $3+2=5$ cách.
Khi hai nhóm có phần chung
Một nhóm có 12 người biết chơi cầu lông, 9 người biết chơi bóng bàn, trong đó 4 người biết cả hai môn. Chọn một người biết ít nhất một môn.
Nếu cộng 12+9, bốn người biết cả hai bị đếm hai lần. Ta trừ một lần phần trùng, được 12+9−4=17 cách.
Cũng có thể chia thành ba nhóm không trùng: chỉ cầu lông 8 người, cả hai 4 người, chỉ bóng bàn 5 người. Tổng 8+4+5=17.
Ba bước ghép mã
Mã gồm một chữ từ $A,B,C$, tiếp theo là hai chữ số từ $0,1,2,3$. Hai chữ số được phép giống nhau. Có bao nhiêu mã?
Đúng: nhân số lựa chọn ở ba vị trí.
Phương án này đã bỏ bớt các mã có hai chữ số giống nhau.
Mới đếm thiếu một vị trí chữ số.
Mỗi vị trí số có bốn, không phải ba lựa chọn.
Lời giải
Có $3\cdot4\cdot4=48$ mã vì mỗi vị trí số đều có đủ bốn lựa chọn.
Chọn một món
Có 4 loại bánh và 5 loại trái cây. Chọn đúng một loại trong hai nhóm. Có bao nhiêu cách?
$20$ là kết quả khi chọn một loại từ mỗi nhóm.
Đúng: áp dụng quy tắc cộng.
Còn thiếu các loại bánh.
Còn thiếu các loại trái cây.
Lời giải
Hai nhóm lựa chọn không trùng nhau và chỉ chọn một loại, nên có $4+5=9$ cách.
Đi qua điểm trung gian
Có 2 đường từ $A$ đến $B$ và 3 đường từ $B$ đến $C$. Mỗi đường $A$–$B$ ghép được với mọi đường $B$–$C$. Có bao nhiêu lộ trình $A$–$B$–$C$?
Cần nhân số cách của hai chặng, không cộng.
Đúng: mỗi đường ở chặng đầu ghép với ba đường ở chặng sau.
Mới đếm chặng $B$–$C$.
Mới đếm chặng $A$–$B$.
Lời giải
Một lộ trình gồm hai bước liên tiếp, nên có $2\cdot3=6$ lộ trình.
Số lựa chọn bước sau không đều
Chọn một trong hai áo $A,B$. Áo $A$ ghép được với 3 quần, áo $B$ chỉ ghép được với 2 quần. Có bao nhiêu bộ hợp lệ?
Không thể lấy $2\cdot3$ vì số lựa chọn quần không đều sau mỗi cách chọn áo.
Đúng: cộng số bộ của hai trường hợp.
Còn thiếu các bộ dùng áo $B$.
Còn thiếu các bộ dùng áo $A$.
Lời giải
Chia theo chiếc áo đã chọn: áo $A$ tạo 3 bộ, áo $B$ tạo 2 bộ. Hai trường hợp không trùng nhau nên có $3+2=5$ bộ.
Điều cần nhớ
Cộng các trường hợp không trùng; nhân số cách của các bước khi mỗi lựa chọn trước có đủ số cách tiếp theo như đã đếm.
Đang học