Ôn theo từng nhóm phương pháp
Bài này gom những cách làm cơ bản đã học trong tập hai. Mỗi ví dụ chỉ dùng kiến thức lớp 11; phần khảo sát cực trị, tích phân và tọa độ không gian sẽ được học ở lớp sau.
Hệ thống kiến thức
| Phần | Cần nắm | Điểm cần kiểm |
|---|---|---|
| Mũ–logarit | Định nghĩa, quy tắc, đồ thị, phương trình và bất phương trình | Điều kiện của logarit; chiều bất đẳng thức theo cơ số |
| Vuông góc trong không gian | Đường–mặt, góc, khoảng cách, thể tích | Xác định đúng hình chiếu và đường cao |
| Xác suất | Hợp, giao, độc lập; quy tắc cộng và nhân | Xung khắc khác độc lập |
| Đạo hàm | Định nghĩa, tiếp tuyến, quy tắc, đạo hàm cấp hai | Điều kiện xác định; hệ số đạo hàm bên trong |
Ví dụ: điều kiện đi cùng biến đổi
Giải $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$.
Điều kiện là $x>1$. Gộp hai logarit được $\log_2(x^2-1)=3$, suy ra $x^2-1=8$, tức $x=3$ hoặc $x=-3$. Đối chiếu điều kiện chỉ nhận $x=3$.
Ôn bất phương trình mũ
Giải $(1/3)^{x-1}\ge9$.
Cơ số $1/3$ nhỏ hơn 1 nên hàm nghịch biến và phải đổi chiều.
Số mũ bên trái là $x-1$; giải $x-1\le-2$ được $x\le-1$.
Cần viết hai vế theo cùng cơ số $1/3$ và chú ý tính nghịch biến.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
$9=(1/3)^{-2}$. Vì cơ số thuộc $(0;1)$, suy ra $x-1\le-2$, hay $x\le-1$.
Ví dụ: dùng đúng đường cao
Hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp(ABC)$, $SA=4$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=3$, $AC=2$.
Diện tích đáy là $S_{ABC}=3\cdot2/2=3$. Vì $SA$ vuông góc với mặt đáy nên chiều cao bằng 4. Thể tích chóp $V=\frac13\cdot3\cdot4=4$ (đơn vị thể tích).
Hình chiếu của $SB$ lên đáy là $AB$, nên góc giữa $SB$ và đáy là $\widehat{SBA}$. Trong tam giác vuông $SAB$, $\tan\widehat{SBA}=4/3$.
Ôn khoảng cách
Với hình chóp trên, tính $d(S,(ABC))$ và $SB$.
Khoảng cách từ S đến đáy là đoạn vuông góc $SA=4$, không phải cạnh xiên $SB$.
Tam giác $SAB$ vuông có cạnh huyền $\sqrt{4^2+3^2}=5$, không phải tổng hai cạnh.
Độ dài 3 là $AB$ nằm trong đáy; đường cao từ S là $SA=4$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
$d(S,(ABC))=SA=4$. Theo Pythagore trong tam giác $SAB$, $SB=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
Ví dụ: phân biệt ít nhất một và đúng một
Hai lần thử độc lập có xác suất thành công lần lượt $0{,}8$ và $0{,}5$. Gọi $A,B$ là biến cố thành công ở từng lần.
$P(A\cap B)=0{,}8\cdot0{,}5=0{,}4$. Xác suất ít nhất một lần thành công là $P(A\cup B)=0{,}8+0{,}5-0{,}4=0{,}9$.
Đúng một lần thành công gồm hai trường hợp xung khắc: chỉ lần đầu hoặc chỉ lần sau. Xác suất là $0{,}8\cdot0{,}5+0{,}2\cdot0{,}5=0{,}5$.
Ôn biến cố đối
Trong ví dụ trên, xác suất cả hai lần đều thất bại là bao nhiêu?
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Phải dùng xác suất thất bại ở lần đầu là 0,2.
Hai lần độc lập cùng thất bại dùng phép nhân, không lấy phần bù của tổng.
Với hai lần độc lập, hoàn toàn có thể viết tích $0{,}2\cdot0{,}5$.
Lời giải
Bằng $0{,}2\cdot0{,}5=0{,}1$, cũng bằng $1-0{,}9$.
Ví dụ: từ đạo hàm đến tiếp tuyến
Cho $f(x)=(x^2+1)^3$. Quy tắc hàm hợp cho $f\prime(x)=3(x^2+1)^2\cdot2x=6x(x^2+1)^2$.
Tại $x_0=1$, $f(1)=8$ và $f\prime(1)=24$. Tiếp tuyến là $y=24(x-1)+8=24x-16$. Cần cả tọa độ điểm tiếp xúc và hệ số góc, không chỉ riêng đạo hàm.
Ôn đạo hàm cấp hai
Tính đạo hàm cấp hai của $y=x^3-2x^2+5x-1$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Đây mới là đạo hàm cấp một.
Đạo hàm của $-4x$ là $-4$, không phải -2.
Hằng số 5 trong đạo hàm cấp một có đạo hàm bằng 0.
Lời giải
$y\prime=3x^2-4x+5$, $y\prime\prime=6x-4$.
Quy trình kiểm tra cuối bài
Kiểm lại điều kiện, đơn vị và kết luận ở mỗi bài. Sau các dạng cơ bản, có thể chuyển sang nhóm luyện tập tương ứng để làm quen với dữ kiện khác; các bài trong phần này không cần phương pháp vượt quá kiến thức lớp 11.
Đang học