Mô hình lượng giác và hiện tượng tuần hoàn

Đọc từng phần trong công thức

Mô hình $h(t)=d+A\sin(\omega t+\varphi)$, với A≠0,ω≠0, có đường giữa d, biên độ |A| và chu kì $T=2\pi/|\omega|$. Mô hình dùng cos có cách đọc tương tự. Giá trị thấp nhất và cao nhất trên một chu kì đầy đủ là d−|A| và d+|A|. Pha ban đầu φ giúp xác định mô hình bắt đầu ở vị trí nào; nó không làm thay đổi chu kì. t và ω phải dùng đơn vị phù hợp để góc trong sin/cos tính bằng radian. Khi hỏi thời điểm cụ thể, ta giải phương trình rồi lọc theo khoảng thời gian của đề.

Đọc mực nước theo mô hình

Mực nước giả định tại một bến được cho bởi $h(t)=2+1{,}5\sin(\pi t/6)$ (m), t tính bằng giờ.

Mực nước h(t)=2+1,5sin(πt/6) từ 0 đến 12 giờ; đường giữa 2 m, cực đại 3,5 m tại 3 giờ, cực tiểu 0,5 m tại 9 giờ.

Đường giữa là 2 m; biên độ 1,5 m; chu kì $2\pi/(\pi/6)=12$ giờ. Mực nước dao động từ 0,5 m đến 3,5 m. Mức trung bình trên một chu kì là 2 m, không phải biên độ 1,5 m. Tại t=0, mực nước bằng 2 m và đang tăng theo mô hình; tại t=3, đạt 3,5 m.

Đọc chu kì

Với mô hình h(t) ở ví dụ, sau bao lâu toàn bộ diễn biến lặp lại?

A1,5 giờB2 giờC6 giờD12 giờ

Tìm thời điểm đạt một độ cao

Với cùng mô hình, tìm các thời điểm trong [0;12] khi h(t)=2,75 m. Chuyển vế và chia 1,5 được sin(πt/6)=1/2. Do 0≤t≤12, góc πt/6 chạy từ 0 đến 2π. Hai góc phù hợp là π/6 và 5π/6. Giải πt/6=π/6 hoặc 5π/6 cho t=1 hoặc t=5 giờ. Có hai thời điểm vì mực nước đạt cùng độ cao một lần khi tăng, một lần khi giảm trong chu kì này.

Lập mô hình đơn giản từ dữ kiện

Nếu biết mức thấp nhất m, cao nhất M, ta lấy đường giữa $d=(M+m)/2$ và biên độ $A=(M-m)/2>0$. Biết chu kì T>0 thì ω=2π/T. Chọn sin hoặc cos và pha theo thời điểm bắt đầu: bắt đầu ở mức giữa và tăng có thể dùng d+A sin(ωt); bắt đầu ở mức cao nhất có thể dùng d+A cos(ωt). Nếu bắt đầu ở thấp nhất, dùng d−A cos(ωt). Các lựa chọn này còn phải khớp chiều biến đổi mà đề mô tả.

Lập công thức từ mức cao nhất

Một đại lượng biến thiên theo dạng cos, từ 4 đến 10, chu kì 8 giây, bắt đầu ở mức cao nhất tại t=0. Viết một mô hình.

A$h(t)=3+7\cos(\pi t/4)$.B$h(t)=7+3\sin(\pi t/4)$.CĐường giữa 7, biên độ 3, ω=2π/8=π/4. Một mô hình là $h(t)=7+3\cos(\pi t/4)$.D$h(t)=7+3\cos(\pi t/8)$.

Thời điểm thấp nhất

Với mô hình mực nước ở ví dụ, thời điểm thấp nhất trong [0;12] là khi nào?

AThấp nhất tại $t=3$ giờ vì sin đạt 1.BSin(πt/6)=−1 tại góc 3π/2 trong một vòng. Suy ra t=9 giờ.CThấp nhất tại $t=6$ giờ vì đây là nửa chu kì.DThấp nhất tại $t=12$ giờ vì hết một chu kì.

Nửa chu kì không phải một chu kì

Với h(t)=2+1,5sin(πt/6), so sánh h(3) và h(9).

A$h(3)=h(9)=2$ m vì hai thời điểm cách nhau nửa chu kì.B$h(3)=0{,}5$ m và $h(9)=3{,}5$ m.Ch(3)=3,5 m, h(9)=0,5 m. Cách nhau 6 giờ là nửa chu kì, từ cao nhất sang thấp nhất, không lặp cùng trạng thái.D$h(3)=3{,}5$ m và $h(9)=3{,}5$ m vì hàm tuần hoàn.

Giới hạn thời gian

Phương trình theo một mô hình cho t=1+12k hoặc t=5+12k, k nguyên. Trong [0;24], có các thời điểm nào?

ACác thời điểm là $1,5,12,24$.BChỉ có $1$ và $5$ vì mỗi họ chỉ cho một nghiệm.CCác thời điểm là $1,5,13,17,25$.DHọ thứ nhất cho 1,13; họ thứ hai cho 5,17. Vậy các thời điểm là 1,5,13,17. Các giá trị k khác nằm ngoài đoạn.

Điều cần nhớ

Đọc đơn vị, mức giữa, biên độ và chu kì trước. Khi tìm thời điểm, giải góc rồi đổi về t, và luôn lọc theo khoảng thời gian mà bài toán xét.