Logarit: định nghĩa và các quy tắc

Tìm số mũ để được một số đã biết

Với a>0, a≠1 và b>0, $\log_a b$ là số mũ cần đặt lên a để được b: $$\log_a b=t\quad\Longleftrightarrow\quad a^t=b.$$ Cơ số a phải dương, khác 1; số b bên trong logarit phải dương. Logarit của 0 hoặc số âm không xác định trong số thực. Từ định nghĩa: $\log_a1=0$, $\log_aa=1$, $\log_a(a^t)=t$ và $a^{\log_ab}=b$. Logarit có thể âm: số bên trong phải dương, còn **kết quả** không nhất thiết dương.

Đọc từ phép lũy thừa

Vì $2^3=8$, ta có $\log_28=3$. Vì $2^{-3}=1/8$, ta có $\log_2(1/8)=-3$. Tương tự, $(1/3)^{-2}=9$ nên $\log_{1/3}9=-2$. Cơ số nhỏ hơn 1 vẫn hợp lệ, miễn dương và khác 1.

Điều kiện bên trong logarit

$\log_2(x-1)$ xác định khi

A$x\ge1$B$x>1$C$x\ne1$D$x>0$

Biến đổi khi các số bên trong dương

Với cơ số hợp lệ, M,N>0 và t thực: | Biểu thức | Biến đổi | |---|---| | $\log_a(MN)$ | $\log_aM+\log_aN$ | | $\log_a(M/N)$ | $\log_aM-\log_aN$ | | $\log_a(M^t)$ | $t\log_aM$ | Đổi sang cơ số c>0,c≠1: $\log_aM=\log_cM/\log_ca$. Mẫu số khác 0 vì a≠1. Kí hiệu log hoặc lg thường chỉ cơ số 10; ln chỉ cơ số $e\approx2{,}71828$. Vì vậy có thể tính $\log_aM=\ln M/\ln a$ trên máy tính.

Gộp tích rồi đổi cơ số

Tính $\log_23+\log_2(8/3)$ và $\log_49$. Ở biểu thức đầu, các số bên trong đều dương; gộp tổng thành logarit của tích: $\log_2[3\cdot(8/3)]=\log_28=3$. Ở biểu thức sau, đổi sang cơ số 2: $\log_49=\log_29/\log_24=(2\log_23)/2=\log_23$. Không cần tính gần đúng trong quá trình biến đổi.

Giữ điều kiện khi đưa số mũ ra ngoài

Công thức $\log_a(M^t)=t\log_aM$ ở trên yêu cầu M>0. Chẳng hạn với x≠0, $\ln(x^2)=2\ln|x|$, không phải luôn bằng $2\ln x$. Vế trái có nghĩa cả khi x âm, còn ln x thì không. Cũng không có quy tắc $\log_a(M+N)=\log_aM+\log_aN$. Tổng hai logarit cùng cơ số gộp thành logarit của **tích**.

Logarit của thương

Tính $\log_580-\log_516$.

AKết quả $\log_5(80-16)=\log_564$.B$\log_5(80/16)=\log_55=1$.CKết quả $\log_55=5$.DKết quả 0 vì hai logarit triệt tiêu.

Đổi cơ số

Tính $\log_98$. Biểu diễn kết quả theo $\log_32$.

A$\log_98=\log_38/\log_39=(3\log_32)/2$.B$\log_98=3\log_32$.C$\log_98=2/(3\log_32)$.D$\log_98=\log_32$ vì $9=3^2$, $8=2^3$.

Logarit tự nhiên

Tính $\ln(e^{-2})$ và $e^{\ln5}$.

AHai kết quả là $e^{-2}$ và $\ln5$.BHai kết quả là 2 và -5.CCả hai biểu thức đều bằng 1.DKết quả lần lượt −2 và 5, theo hai phép biến đổi ngược nhau giữa lũy thừa cơ số e và ln.

Cơ số chứa biến

Tìm điều kiện xác định của $\log_x(3-x)$.

A$0<x<3$.B$x<3$, $x\ne1$.C$x>0$, $x\ne1$.DCần x>0, x≠1 và 3−x>0. Vậy $0<x<3$, x≠1.

Điều cần nhớ

Logarit trả về số mũ. Ghi điều kiện của cơ số và số bên trong trước; chỉ gộp tích, thương và lũy thừa theo đúng quy tắc.