Liên tục trên cả một miền
Hàm liên tục trên (a;b) khi liên tục tại mọi điểm trong khoảng. Liên tục trên [a;b] còn cần giới hạn phải tại a bằng f(a) và giới hạn trái tại b bằng f(b).
Đa thức, sin x và cos x liên tục trên R. Hàm phân thức hữu tỉ, tan x, cot x và căn bậc hai liên tục trên tập xác định của chúng. Tổng, hiệu, tích của các hàm liên tục vẫn liên tục; thương cần mẫu khác 0.
Hãy tìm miền xác định trước. “Liên tục trên tập xác định” không có nghĩa là liên tục xuyên qua điểm bị loại.
Phân thức và đầu đoạn
Hàm (x+1)/(x−2) liên tục trên hai khoảng (−∞;2) và (2;+∞). Không kết luận liên tục trên [1;3], vì x=2 thuộc đoạn nhưng hàm không xác định tại đó.
Hàm √x liên tục trên [0;4]. Ở đầu 0, chỉ cần xét phía phải: √x→0=f(0). Không yêu cầu hàm có giá trị ở x<0 để xét liên tục trên đoạn này.
Miền của đa thức
Tập lớn nhất trong các phương án mà đa thức 2x³−x+4 liên tục là
Đúng trên khoảng này nhưng chưa phải tập lớn nhất.
Không cần loại 0.
Đây chỉ là một đoạn con.
Đúng: toàn bộ tập số thực.
Lời giải
Đa thức liên tục trên toàn bộ R.
Tổng, tích và thương của các hàm liên tục
Nếu $u,v$ liên tục tại điểm đang xét thì $u+v$, $u-v$, $uv$ cũng liên tục tại đó. Với $u/v$, cần thêm $v\ne0$.
Chẳng hạn $\sin x+x^2$ liên tục trên $\mathbb R$, vì hai số hạng đều liên tục. Còn $\sin x/(x-1)$ chỉ xét liên tục trên các khoảng không chứa $1$: mẫu phải khác $0$.
Kiểm tra một điểm nối trong đoạn
Cho $f(x)=x+1$ khi $0\le x\le1$ và $f(x)=3-x$ khi $1<x\le2$. Xét tính liên tục trên $[0;2]$.
Mỗi nhánh là đa thức nên liên tục trong khoảng của nó. Tại $1$, giới hạn trái là $2$, giới hạn phải là $2$, cùng bằng $f(1)=2$. Ở đầu $0$, giới hạn phải bằng $1=f(0)$; ở đầu $2$, giới hạn trái bằng $1=f(2)$. Vậy hàm liên tục trên cả đoạn $[0;2]$.
Xét tính liên tục của hàm chứa căn
Hàm $f(x)=\sqrt{x+1}/(x-2)$ có liên tục trên $[-1;1]$ không?
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Tại -1, căn bằng 0 và vẫn xác định; chỉ cần giới hạn phải bằng giá trị hàm.
Điểm 2 nằm ngoài đoạn $[-1;1]$ nên không ảnh hưởng tính liên tục trên đoạn.
Kết luận đúng trên đoạn nhưng lý do sai; căn chỉ xác định khi $x\ge-1$.
Lời giải
Có. Căn xác định với $x\ge-1$ và liên tục trên miền này; mẫu khác $0$ trên $[-1;1]$. Thương liên tục trên đoạn, với giới hạn phải tại $-1$ bằng $f(-1)=0$.
Điểm bị loại nằm giữa đoạn
Hàm $1/x$ có liên tục trên $[-1;1]$ không? Vì sao?
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Đoạn chứa 0, nơi hàm không xác định.
Liên tục trên đoạn đòi hỏi liên tục tại mọi điểm của đoạn.
Hàm xác định và liên tục ở hai đầu; vấn đề duy nhất là điểm 0.
Lời giải
Không. Hàm không xác định tại $0$, là một điểm thuộc đoạn; vì vậy không liên tục trên cả đoạn.
Nối hai nhánh cho liên tục
Cho $f(x)=x+2$ khi $0\le x\le1$, $f(x)=mx$ khi $1<x\le2$. Tìm $m$ để hàm liên tục trên $[0;2]$.
Tại 1, nhánh trái cho 3 còn nhánh phải tiến tới $m$.
Thay $x=1$ vào nhánh trái được 3, không phải 2.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Còn phải kiểm hai nhánh khớp nhau tại điểm nối $x=1$.
Lời giải
Hai nhánh đa thức liên tục trong phần của chúng và tại hai đầu đoạn theo phía cần xét. Tại $1$, giới hạn trái và giá trị hàm bằng $3$, giới hạn phải bằng $m$. Do đó cần và đủ $m=3$.
Một điểm nối trên cả đoạn
f(x)=x khi 0≤x≤1, f(x)=2−x khi 1<x≤2. Xét liên tục trên [0;2].
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Hai công thức khác nhau vẫn có thể nối liên tục; ở đây hai giới hạn cùng bằng 1.
Tại đầu đoạn chỉ cần liên tục một phía và giá trị bằng 0 là hoàn toàn hợp lệ.
Ở đầu đoạn 0, định nghĩa liên tục trên đoạn chỉ yêu cầu giới hạn phải bằng giá trị hàm.
Lời giải
Hai nhánh đa thức liên tục trên phần của chúng. Tại 1, giới hạn trái và phải đều bằng 1=f(1). Hai đầu 0,2 thỏa liên tục một phía. Vậy hàm liên tục trên [0;2].
Điều cần nhớ
Tìm miền xác định trước. Trong mỗi khoảng, dùng tính liên tục của các hàm đã biết và quy tắc tổng, tích, thương. Tại điểm nối, so sánh hai giới hạn với giá trị hàm; tại đầu đoạn chỉ xét phía nằm trong đoạn.
Đang học