Liên tục tại điểm và tìm tham số

Ba điều cần khớp tại một điểm

Tại điểm a nằm bên trong khoảng đang xét, f liên tục khi có f(a), có giới hạn hữu hạn khi x→a, và giới hạn ấy bằng f(a): $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$ Với hàm nhiều nhánh, ta thường tính riêng giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị tại điểm, rồi so sánh cả ba. Chỉ có f(a) chưa đủ; chỉ có giới hạn cũng chưa đủ.

Bổ sung giá trị ở điểm khuyết

Cho f(x)=(x²−4)/(x−2) khi x≠2 và f(2)=m. Tìm m để liên tục tại 2.

Hai trường hợp của y=x+2 ngoài x=2: bên trái f(2)=1 nên gián đoạn; bên phải f(2)=4 nên liên tục.

Với x≠2, thương bằng x+2, nên giới hạn khi x→2 bằng 4. Muốn bằng f(2)=m, ta cần m=4. Nếu m=1, hai phía vẫn tiến tới 4 nhưng giá trị tại điểm là 1 nên hàm gián đoạn. Chọn m=4 lấp đúng điểm khuyết.

Giá trị hàm không nhất thiết dương

f(x)=x²−3x+1 có liên tục tại x=2 không?

AKhông vì f(2)<0BChưa đủ dữ kiệnCCó vì đa thức liên tục trên RDKhông vì x=2 khác 0

Nối hai công thức

Cho f(x)=x² khi x≤1 và f(x)=2x+m khi x>1. Tìm m để liên tục tại 1. Từ bên trái, x²→1 và f(1)=1. Từ bên phải, 2x+m→2+m. Muốn hai phía cùng bằng f(1), cần 2+m=1, suy ra m=−1. Với m=−1, các nhánh đều là đa thức trên phần của mình và nối liên tục tại 1, nên hàm liên tục trên R.

Có giá trị tại điểm chưa đủ để liên tục

Xét $f(x)=x+1$ với $x\ne0$, còn $f(0)=3$. Hàm có giá trị tại $0$, nhưng $\lim_{x\to0}f(x)=1\ne3$, nên không liên tục tại đó. Ngược lại, hàm $g(x)=|x|$ liên tục tại $0$: khi $x$ tiến về $0$ từ trái hay phải, $|x|$ đều tiến về $0=g(0)$. Ta kiểm tra bằng giới hạn và giá trị tại điểm, không dựa vào cảm giác hình vẽ có “gấp khúc” hay không.

Hai phía đã khác thì sửa một điểm không đủ

f(x)=0 khi x<0, f(x)=1 khi x>0, f(0)=m. Có m nào làm hàm liên tục tại 0 không?

AChọn $m=0$ vì khớp giới hạn trái.BKhông. Giới hạn trái 0, phải 1 khác nhau, không có giới hạn hai phía dù chọn m thế nào.CChọn $m=1$ vì khớp giới hạn phải.DChọn $m=1/2$ là trung bình hai giới hạn.

Điền giá trị tại 1

f(x)=(x³−1)/(x−1) khi x≠1. Cần đặt f(1) bằng bao nhiêu để liên tục?

AĐặt $f(1)=0$ vì tử và mẫu đều bằng 0.BVới x≠1, f=x²+x+1→3. Đặt f(1)=3.CĐặt $f(1)=1$ vì điểm cần xét là 1.DKhông thể làm liên tục vì công thức có mẫu bằng 0 tại 1.

Một nhánh có căn

f(x)=(√(x+4)−2)/x khi x≠0 gần 0; f(0)=m. Tìm m để liên tục tại 0.

A$m=0$ vì tử tiến về 0.B$m=1/2$ vì đạo hàm của căn là $1/2$.CNhân liên hợp, giới hạn bằng 1/(2+2)=1/4. Vậy m=1/4.D$m=4$ vì mẫu liên hợp tiến tới 4.

Giới hạn vô cực không cho liên tục

f(x)=1/x² khi x≠0 và f(0)=0. Hàm có liên tục tại 0 không?

ACó, vì đã gán $f(0)=0$.BCó, vì $1/x^2$ dương ở hai phía.CKhông. Giới hạn khi x→0 là +∞, không phải giá trị hữu hạn f(0)=0.DKhông, vì giới hạn trái và phải mang dấu khác nhau.

Điều cần nhớ

Xét giá trị tại điểm, giới hạn trái và phải. Muốn nối liên tục, cả ba phải bằng nhau; thay một giá trị không sửa được hai nhánh có giới hạn khác nhau.