Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc ba

Ghép các bước đã học thành một bài hoàn chỉnh

Khảo sát hàm số không phải một phép tính mới. Ta nối những việc đã biết: tìm miền, tính đạo hàm, xét dấu và cực trị, tìm giới hạn, lập bảng biến thiên, rồi vẽ đồ thị. Bài này thực hiện trọn một lần với hàm bậc ba.

Sơ đồ khảo sát

Với $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, a≠0: 1. Tập xác định là R. Tính f′, tìm nghiệm và xét dấu để kết luận đơn điệu, cực trị. 2. Tính giới hạn tại ±∞ rồi lập bảng biến thiên. Số hạng ax³ quyết định hai đầu đồ thị. Hàm bậc ba không có tiệm cận thẳng. 3. Tìm giao trục và một số điểm đặc biệt. Vẽ đường cong theo chiều biến thiên, qua các điểm đã tìm. Đồ thị có tâm đối xứng I(x₀;f(x₀)), với x₀=−b/(3a). Cũng có thể tìm x₀ bằng f″(x₀)=0; f″ là đạo hàm của f′. Tâm đối xứng nghĩa là quay nửa vòng quanh I thì đồ thị trùng lại. Tâm không nhất thiết là cực trị.

Ví dụ 1 — Hàm có hai cực trị

Khảo sát $f(x)=x^3-3x$.

Bảng biến thiên x³−3x: tăng đến 2 tại −1, giảm đến −2 tại 1, rồi tăng; hai đầu âm và dương vô cực. — Bảng biến thiên của $f(x)=x^3-3x$.

Đồ thị x³−3x, cực đại (−1;2), cực tiểu (1;−2), tâm (0;0), giao trục hoành tại −√3,0,√3. — Đối chiếu đồ thị với các kết quả khảo sát.

**Miền và đạo hàm:** D=R; $f'(x)=3(x-1)(x+1)$. Nghiệm −1 và 1 chia trục thành ba khoảng, dấu lần lượt +,−,+. **Đơn điệu, cực trị:** tăng trên (−∞;−1) và (1;+∞), giảm trên (−1;1). Cực đại tại −1, giá trị 2; cực tiểu tại 1, giá trị −2. **Giới hạn:** f→−∞ khi x→−∞, f→+∞ khi x→+∞. Bảng biến thiên tổng hợp dấu và chiều biến thiên. **Điểm để vẽ:** f(0)=0; giải f(x)=x(x²−3)=0 được x=−√3,0,√3. Tâm đối xứng O(0;0). Đánh dấu các giao trục và hai cực trị, rồi nối bằng đường cong theo bảng. Không nối thành những đoạn thẳng vì đồ thị này là đường cong trơn.

Thử: hai đầu của đồ thị

Với $g(x)=2x^3-3x+1$, hai giới hạn tại −∞ và +∞ lần lượt là gì?

A$-\infty, +\infty$B$+\infty,-\infty$C$+\infty,+\infty$D$-\infty,-\infty$

Ví dụ 2 — Hàm không có cực trị

Khảo sát $h(x)=x^3+x$.

Đồ thị x³+x tăng trên toàn trục, qua (−1;−2),(0;0),(1;2). — Hàm bậc ba không nhất thiết có hai cực trị.

D=R; h′=3x²+1>0 với mọi x. Hàm đồng biến trên R, không có cực trị. Hai giới hạn tại −∞ và +∞ lần lượt là −∞ và +∞; bảng biến thiên chỉ có một mũi tên đi lên. Phương trình h(x)=x(x²+1)=0 chỉ có x=0. Đồ thị qua (0;0), thêm (1;2), (−1;−2), và có tâm O. Vẽ đường cong tăng liên tục qua các điểm đó, không tạo hai chỗ ngoặt cực trị chỉ vì đây là hàm bậc ba. Nếu h′ có một nghiệm kép, như đạo hàm 3x² của x³, vẫn phải xét dấu: x³ tăng qua 0 và không có cực trị.

Thử: đổi dấu hệ số bậc ba

Xét $u(x)=-x^3+3x$. Tìm các khoảng đơn điệu, hai cực trị và chiều hai đầu đồ thị.

A$u\prime=-3(x-1)(x+1)$ có dấu −,+,−. Hàm giảm ngoài hai mốc, tăng trên (−1;1). Cực tiểu (−1;−2), cực đại (1;2). Giới hạn trái +∞, phải −∞.BHàm tăng ngoài hai mốc $-1,1$, giảm trên $(-1;1)$; cực đại tại $-1$, cực tiểu tại $1$.CHàm giảm ngoài hai mốc, tăng ở giữa; cực đại $(-1;-2)$ và cực tiểu $(1;2)$.DHai đầu đồ thị đều đi xuống $-\infty$ vì hệ số của $x^3$ âm.

Bài luyện 1

Tìm tâm đối xứng của $p(x)=x^3-3x^2+2$.

Aa=1,b=−3 nên x₀=1; p(1)=0. Tâm I(1;0).BTâm đối xứng là $I(-1;0)$ vì $x_0=b/(3a)=-1$.CTâm là $I(1;2)$ vì lấy hệ số tự do làm tung độ.DTâm là gốc tọa độ vì mọi đồ thị hàm bậc ba đều đối xứng qua $O$.

Bài luyện 2

Hàm $q(x)=x^3+3x+1$ có bao nhiêu cực trị? Vì sao?

ACó hai cực trị vì mọi hàm bậc ba đều có một cực đại và một cực tiểu.BCó một cực tiểu tại $x=0$ vì $q'(0)=3$.CKhông có cực trị vì $q'(x)=3x^2-3<0$ quanh $0$.Dq′=3x²+3>0 mọi nơi, nên tăng trên R và không có cực trị. Không suy số cực trị chỉ từ bậc của hàm.

Bài luyện 3

Khảo sát và phác đồ thị $r(x)=x^3-3x+2$.

ACực tiểu $(-1;4)$, cực đại $(1;0)$; đồ thị giảm, tăng rồi giảm.BĐồ thị cắt $Ox$ tại $(-2;0)$ và $(1;0)$, đồng thời cắt trục tại $(1;0)$ hai lần vì nghiệm kép.CD=R, r′=3(x−1)(x+1), dấu +,−,+. Cực đại (−1;4), cực tiểu (1;0); giới hạn trái −∞, phải +∞. Giao Oy (0;2); r=(x−1)²(x+2) nên giao Ox (−2;0),(1;0). Tâm I(0;2). Vẽ đường cong tăng đến (−1;4), giảm đến (1;0), rồi tăng; tại (1;0) chạm trục hoành. Đồ thị là hình của ví dụ 1 dịch lên 2 đơn vị.DTâm đối xứng là $I(0;0)$ vì hệ số của $x^2$ bằng $0$.

Bài luyện bản vẽ

Đồ thị cần khớp đồng thời miền, chiều hai đầu, khoảng tăng giảm, cực trị và giao trục. Có thể dùng phần mềm để đối chiếu bản vẽ, nhưng không thay các bước khảo sát bằng ảnh do máy vẽ.