Khảo sát phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Khác hàm đa thức ở bước nào?

Phân thức có một điểm bị loại làm miền chia thành hai khoảng. Ta phải xét mỗi khoảng riêng, ghi giới hạn hai phía tại điểm loại và vẽ hai nhánh tách rời. Không nối đường cong xuyên qua tiệm cận đứng.

Nhắc quy tắc đạo hàm thương

Với u,v có đạo hàm và v≠0: $$(u/v)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.$$ Ví dụ u=2x+1, v=x−3: tử đạo hàm là 2(x−3)−(2x+1)=−7. Giữ ngoặc khi trừ cả tích thứ hai. Với $f(x)=(ax+b)/(cx+d)$, c≠0 và ad−bc≠0, ta có $f'(x)=(ad-bc)/(cx+d)^2$. Mẫu dương trong miền, nên dấu đạo hàm phụ thuộc ad−bc. Nếu ad−bc=0, biểu thức rút gọn thành hằng số trên miền; không áp dụng hình hai nhánh của trường hợp không suy biến.

Ví dụ 1 — Hai nhánh nghịch biến

Khảo sát $f(x)=(2x+1)/(x-3)$.

Hai khoảng tách tại 3, đạo hàm âm trên cả hai; nhánh trái từ 2 xuống âm vô cực, nhánh phải từ dương vô cực xuống 2. — Vạch đôi tại $x=3$ biểu thị hàm không xác định.

Đồ thị (2x+1)/(x−3) có tâm I(3;2), tiệm cận x=3,y=2. — Hai nhánh có cùng chiều giảm nhưng không ghép thành một khoảng.

**Miền:** D=R\{3}. **Đạo hàm:** f′=−7/(x−3)²<0. Hàm giảm trên từng khoảng (−∞;3),(3;+∞), không có cực trị. **Giới hạn và tiệm cận:** viết f=2+7/(x−3). Hai giới hạn vô cực bằng 2; tại 3⁻ là −∞, tại 3⁺ là +∞. Tiệm cận ngang y=2, đứng x=3. **Vẽ:** giao Oy là (0;−1/3), giao Ox là (−1/2;0). Tâm I(3;2) là giao hai tiệm cận. Với x<3, f<2; với x>3, f>2. Vẽ mỗi nhánh đi xuống đúng các giới hạn; tâm nằm ngoài đồ thị vì x=3 bị loại.

Thử: tính đúng đạo hàm

Đạo hàm của $g(x)=(x+1)/(x-2)$ là biểu thức nào?

A$3/(x-2)^2$B$1$C$-3/(x-2)^2$D$0$

Ví dụ 2 — Hai nhánh đồng biến

Khảo sát $h(x)=(x-2)/(x+1)=1-3/(x+1)$.

Đồ thị (x−2)/(x+1), hai nhánh tăng, tiệm cận x=−1,y=1, giao trục (2;0),(0;−2). — Trường hợp đạo hàm dương trên mỗi khoảng.

D=R\{−1}; h′=3/(x+1)²>0 nên tăng trên từng khoảng (−∞;−1),(−1;+∞), không có cực trị. Khi x→±∞, h→1. Khi x→−1⁻, h→+∞; khi x→−1⁺, h→−∞. Hai tiệm cận là x=−1 và y=1; tâm I(−1;1). Giao Oy (0;−2), giao Ox (2;0). Nhánh trái nằm trên y=1 và tăng về +∞; nhánh phải nằm dưới y=1, tăng từ −∞ về gần 1. Hãy đối chiếu hình với từng thông tin này.

Thử: đặt đúng tọa độ tâm

Một đồ thị thuộc họ phân thức bậc nhất/bậc nhất không suy biến có tiệm cận x=3 và y=2. Tìm tâm và giải thích vì sao không cần biết một điểm của đồ thị ở x=3.

ATâm là $I(2;3)$ vì lấy tung độ trước hoành độ của hai tiệm cận.BKhông xác định được tâm nếu chưa biết giá trị của hàm tại $x=3$.CTâm là giao hai tiệm cận I(3;2). Với họ này, đường x=3 bị loại khỏi miền; tâm không phải điểm thuộc đồ thị, nên không cần có f(3).DTâm là điểm $(3;2)$ thuộc đồ thị vì cả hai tiệm cận đi qua đó.

Bài luyện 1

Khảo sát $u(x)=(x+2)/(x-1)$ và mô tả hai nhánh.

AD=R\{1}; u=1+3/(x−1), u′=−3/(x−1)²<0. Giảm trên mỗi khoảng, không cực trị. Giới hạn tại 1⁻:−∞,1⁺:+∞; tại ±∞:1. Tiệm cận x=1,y=1; tâm (1;1); giao Ox (−2;0), Oy (0;−2). Nhánh trái dưới y=1, nhánh phải trên y=1.B$u'=3/(x-1)^2>0$, nên hàm tăng trên hai khoảng; tiệm cận $x=1,y=1$.CHàm giảm trên toàn $\mathbb R$, có tâm $(1;1)$ và giao $Ox$ tại $(2;0)$.DTiệm cận đứng $y=1$, ngang $x=1$; nhánh trái trên đường ngang, nhánh phải dưới.

Bài luyện 2

Hàm $(2x+2)/(x+1)$ có tiệm cận đứng x=−1 không?

ACó tiệm cận đứng $x=-1$ vì mẫu bằng $0$ tại đó.BKhông. Hàm bằng 2 với x≠−1, giới hạn tại −1 bằng 2. Đây là trường hợp suy biến ad−bc=0; đồ thị là đường y=2 bỏ điểm (−1;2).CKhông có tiệm cận đứng; đồ thị là toàn bộ đường $y=2$.DCó tiệm cận ngang $y=2$ và tiệm cận đứng $x=-1$ vì $ad-bc=0$.

Bài luyện 3

Vì f′<0 ở mọi điểm thuộc R\{3}, có được nói f giảm trên toàn R không?

ACó, vì $f'<0$ tại mọi điểm mà đạo hàm tồn tại nên hàm giảm trên $\mathbb R$.BKhông. f không xác định tại 3. Quy tắc dấu đạo hàm áp dụng trên mỗi khoảng của miền; không nối qua điểm loại.CKhông; hàm tăng trên cả hai khoảng vì đạo hàm âm.DCó thể nói hàm giảm trên $(-\infty;3]$ và $[3;+\infty)$.

Những điều cần nhớ

Quy tắc thương cần đúng thứ tự phép trừ. Sau miền và đạo hàm, tìm đủ giới hạn, tiệm cận, giao trục và tâm; vẽ hai nhánh riêng theo bảng. Trường hợp tử chia hết cho mẫu phải xét riêng.