Chia đa thức trước để thấy cấu trúc
Sau phép chia, hàm thường có dạng $f(x)=ax+b+k/(x-h)$, với a≠0,k≠0. Ta thấy ngay đường xiên y=ax+b và điểm phải loại h; đạo hàm cũng dễ tính hơn.
Dùng $(1/(x-h))'=-1/(x-h)^2$, suy ra $f'(x)=a-k/(x-h)^2$. Công thức này có thể kiểm bằng quy tắc thương đã học.
Ví dụ 1 — Có hai cực trị
Khảo sát $f(x)=(x^2-2x+2)/(x-1)=x-1+1/(x-1)$.
**Miền:** x≠1. **Đạo hàm:** $f'=1-1/(x-1)^2=x(x-2)/(x-1)^2$. Nghiệm 0 và 2; phải thêm điểm loại 1 khi chia khoảng.
Dấu đạo hàm là +,−,−,+ trên các khoảng chia bởi 0,1,2. Hàm tăng trên (−∞;0),(2;+∞); giảm trên (0;1),(1;2). Cực đại (0;−2), cực tiểu (2;2).
Tại 1⁻ hàm tiến về −∞, tại 1⁺ về +∞. Hiệu f−(x−1) tiến về 0 ở ±∞, nên tiệm cận đứng x=1 và xiên y=x−1. Hai đầu vô cực của f cùng chiều với x−1.
Giao Oy (0;−2). Tử $(x-1)^2+1>0$ nên không có giao Ox. Tâm I(1;0). Dựa vào bảng, vẽ hai nhánh, giữ đúng vị trí cực trị và hai đường tiệm cận.
Thử: chia khoảng cho đủ
Với f ở ví dụ 1, cần dùng những mốc nào để lập bảng biến thiên?
Còn thiếu điểm loại 1, nơi hai nhánh tách rời.
Còn thiếu hai điểm cực trị 0 và 2.
Đúng: gồm cả nghiệm đạo hàm và điểm ngoài miền.
Đây không phải các nghiệm đạo hàm của f.
Lời giải
Nghiệm đạo hàm là 0,2 và điểm loại là 1. Bảng phải tách tại cả 0,1,2, chọn C.
Ví dụ 2 — Không có cực trị
Xét $g(x)=(x^2+x-2)/(x+1)=x-2/(x+1)$.
D=R\{−1}; $g'=1+2/(x+1)^2>0$, nên tăng trên từng khoảng và không có cực trị. Khi x→−1⁻, g→+∞; khi x→−1⁺, g→−∞. Tại −∞, g→−∞; tại +∞, g→+∞.
Tiệm cận đứng x=−1, xiên y=x, tâm I(−1;−1). Giao Oy (0;−2). Tử (x+2)(x−1)=0 cho giao Ox (−2;0),(1;0), đều không bị loại.
Vẽ hai nhánh tăng: nhánh trái nằm trên y=x do −2/(x+1)>0; nhánh phải nằm dưới y=x. Đừng vẽ thêm cực trị nếu đạo hàm không đổi dấu.
Thử: tính giá trị ở điểm cực trị
Với $u(x)=x+2+4/(x-1)$, tìm các cực trị của đồ thị.
Dấu đổi $+\to-$ tại $-1$ cho cực đại; chỉ tại $3$ là cực tiểu.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Tung độ phải tính từ $u$, lần lượt là $-1$ và $7$, không lấy giá trị đạo hàm.
Hàm không xác định tại $1$, nên đó là tiệm cận đứng chứ không phải điểm cực trị.
Lời giải
u′=1−4/(x−1)²=0 tại x=−1,3. Dấu +,−,−,+ qua −1,1,3. Cực đại tại −1 với u(−1)=−1; cực tiểu tại 3 với u(3)=7. Tọa độ (−1;−1),(3;7).
Nhận ra trường hợp cần xét riêng
Trong dạng ax+b+k/(x−h), phương trình đạo hàm bằng 0 là $(x-h)^2=k/a$. Nếu k/a>0 có hai nghiệm; nếu k/a<0 không có nghiệm thực. Vẫn xét dấu để kết luận loại cực trị.
Nếu k=0, tử chia hết cho mẫu, đồ thị là đường thẳng bỏ một điểm. Đây không phải trường hợp phân thức không suy biến đang khảo sát; không tự gắn tiệm cận đứng tại điểm bị loại.
Bài luyện 1
Tìm tiệm cận và tâm của $v(x)=(x^2+1)/(x-1)$.
Phép chia đúng cho thương $x+1$; tại $x=1$ đường xiên có tung độ $2$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Mẫu bằng $0$ tại $x=1$, không phải $-1$.
Thay $x=1$ vào đường xiên cho $y=2$, nên giao điểm là $(1;2)$.
Lời giải
v=x+1+2/(x−1), x≠1. Tiệm cận đứng x=1, xiên y=x+1, tâm I(1;2).
Bài luyện 2
$w(x)=-x+1-1/(x+2)$ có cực trị ở đâu?
Dấu đạo hàm đổi $-\to+$ tại $-3$ và $+\to-$ tại $-1$; hai loại cực trị bị đảo.
Điểm $-2$ bị loại khỏi miền xác định, không thể là cực trị.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Tung độ điểm cực trị là giá trị của $w$, không phải của $w'$.
Lời giải
w′=−1+1/(x+2)²=0 tại −3,−1. Dấu −,+,+,− qua −3,−2,−1. Cực tiểu tại −3, w(−3)=5; cực đại tại −1, w(−1)=1. Điểm −2 bị loại, không là cực trị.
Bài luyện 3
Khảo sát $p(x)=x+1+1/x$ và phác hai nhánh.
Tại $-1$ là cực đại và tại $1$ là cực tiểu; điểm $0$ còn tách miền nên không có một khoảng tăng xuyên qua đó.
Hàm không xác định tại $x=0$, còn phương trình hoành độ giao điểm không có nghiệm thực.
Khi $x$ ra vô cực, hàm gần đường xiên $y=x+1$, không gần đường ngang $y=1$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
D=R\{0}; p′=1−1/x², dấu +,−,−,+ qua −1,0,1. Cực đại (−1;−1), cực tiểu (1;3). Giới hạn 0⁻:−∞,0⁺:+∞; hai đầu như x+1. Tiệm cận x=0,y=x+1, tâm (0;1). Không giao Oy; phương trình x²+x+1=0 vô nghiệm nên không giao Ox. Nhánh trái dưới đường xiên, nhánh phải trên đường xiên.
Những điều cần nhớ
Chia đa thức giúp tính đạo hàm và tìm tiệm cận. Bảng biến thiên phải chứa cả điểm loại. Giá trị cực trị tính bằng hàm gốc; ba họ hàm trong chương có hình khác nhau, không áp một dáng đồ thị cho mọi công thức.
Đang học