Xác định góc bằng một mặt cắt phù hợp
Hai mặt bên hoặc mặt bên với mặt đáy gặp nhau dọc theo một cạnh. Để thấy độ mở giữa chúng, ta dựng trong mỗi mặt một đường vuông góc với cạnh chung tại cùng một điểm. Góc giữa hai đường đó cho góc giữa hai mặt.
Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng, nên nằm từ $0^\circ$ đến $90^\circ$.
Với hai mặt cắt nhau theo giao tuyến $d$, ta có cách dựng thường dùng: chọn $H\in d$, kẻ $Ha$ trong mặt thứ nhất và $Hb$ trong mặt thứ hai, cùng vuông góc với $d$. **Góc không tù** giữa $Ha,Hb$ là góc giữa hai mặt.
Cần chứng minh cả hai quan hệ vuông góc với $d$. Hai đường chỉ nằm trong hai mặt thì chưa đủ.
Hai mặt phẳng vuông góc giúp dựng đường cao
Hai mặt phẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Từ góc giữa hai mặt vừa học, ta dùng hai tính chất sau:
- Nếu một mặt chứa một đường vuông góc với mặt kia, thì hai mặt vuông góc.
- Nếu $(P)\perp(Q)$ và giao tuyến là $a$, thì đường nằm trong $(P)$, vuông góc với $a$, sẽ vuông góc với $(Q)$.
Tính chất thứ hai cho ta cách dựng: làm việc trong $(P)$, hạ đường vuông góc xuống giao tuyến $a$. Không phải mọi đường trong $(P)$ đều vuông góc với $(Q)$.
Hạ đường cao trong mặt bên
Cho hình chóp $S.ABC$ có $(SAB)\perp(ABC)$. Trong tam giác $SAB$, kẻ $SH\perp AB$ tại $H$. Chứng minh $SH$ là đường cao của hình chóp.
Hai mặt $(SAB)$ và $(ABC)$ có giao tuyến $AB$. Đường $SH$ nằm trong $(SAB)$ và vuông góc với giao tuyến ấy. Theo tính chất hai mặt vuông góc, $SH\perp(ABC)$.
Vì $H\in AB\subset(ABC)$, $SH$ nối đỉnh $S$ với chân vuông góc trên đáy, nên đúng là đường cao. Điểm $H$ có thể thuộc phần kéo dài của cạnh $AB$ nếu tam giác $SAB$ có góc tù ở đáy.
Chọn đúng điều kiện
Biết $(SAB)\perp(ABC)$. Chỉ từ đó có được kết luận $SA$ là đường cao không? Cần thêm điều kiện nào?
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Hai mặt phẳng vuông góc không làm mọi đường trong mặt này vuông góc mặt kia.
Đường cần vuông góc với giao tuyến $AB$, không phải song song.
Điều kiện phải đặt cho chính đường $SA$ nằm trong $(SAB)$.
Lời giải
Chưa được. Cần thêm $SA\perp AB$, vì $AB$ là giao tuyến hai mặt. Khi đó $SA\subset(SAB)$ và vuông góc giao tuyến, nên $SA\perp(ABC)$; chân đường cao là $A$.
Góc mặt bên với đáy của chóp đều
Hình chóp đều có đáy là đa giác đều và chân đường cao là tâm đáy; các cạnh bên bằng nhau. Với chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông.
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy là hình vuông cạnh $6$, tâm $O$, $SO=3$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Tính góc giữa $(SAB)$ và $(ABCD)$.
Giao tuyến hai mặt là $AB$. Trong đáy hình vuông, $OH\perp AB$ và $OH=3$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên trung tuyến $SH$ cũng vuông góc $AB$.
Vậy góc giữa hai mặt là góc không tù giữa $SH$ và $OH$. Do chóp đều có $SO\perp(ABCD)$, tam giác $SOH$ vuông tại $O$. Hai cạnh $SO=OH=3$ nên $\widehat{SHO}=45^\circ$. Góc cần tìm bằng $45^\circ$.
Thay chiều cao
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $8$, chiều cao $4\sqrt3$. Tính góc giữa một mặt bên và đáy.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Góc tại $H$ có cạnh đối là $SO$, cạnh kề là $OH$, nên tang bằng $\sqrt3$.
Còn phải so sánh với chiều cao $SO=4\sqrt3$, không chỉ biết $OH=4$.
Góc giữa mặt bên và đáy được đo bởi $SH$ và $OH$, không phải bởi đường cao $SO$.
Lời giải
Gọi $O$ là tâm đáy, $H$ là trung điểm cạnh chung của mặt bên với đáy. Có $OH=4$, $SH\perp AB$ và $OH\perp AB$. Trong tam giác $SOH$ vuông tại $O$, $\tan\widehat{SHO}=SO/OH=\sqrt3$. Góc hai mặt bằng $60^\circ$.
Góc nhị diện giữ thông tin về hai phía
Một góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ $d$. Chọn $H\in d$; trong mỗi nửa mặt, kẻ một tia xuất phát từ $H$ và vuông góc với $d$. Góc giữa hai tia là **góc phẳng của góc nhị diện**. Số đo góc nhị diện nằm từ $0^\circ$ đến $180^\circ$.
Khác biệt nằm ở các nửa mặt đã chọn: góc hai mặt phẳng luôn lấy góc không tù, còn góc nhị diện có thể là góc tù. Với góc nhị diện $[S,AB,O]$, hai nửa mặt là phía chứa $S$ và phía chứa $O$, có chung bờ $AB$.
Cùng hai mặt nhưng chọn nửa mặt khác
Trong ví dụ chóp đều cạnh đáy $6$, $SO=3$, góc nhị diện $[S,AB,O]$ có góc phẳng $\widehat{SHO}=45^\circ$.
Lấy $K$ trên tia đối của tia $HO$. Điểm $K$ nằm ở nửa mặt đáy phía bên kia $AB$. Khi xét $[S,AB,K]$, góc phẳng là $\widehat{SHK}=180^\circ-45^\circ=135^\circ$.
Hai mặt phẳng vẫn là $(SAB)$ và $(ABCD)$, nên góc giữa chúng vẫn bằng $45^\circ$. Số $135^\circ$ trả lời cho góc nhị diện được chỉ định, không phải góc giữa hai mặt phẳng.
Phân biệt hai kết quả
Một góc nhị diện có góc phẳng bằng $120^\circ$. Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai nửa mặt ấy bằng bao nhiêu?
Góc giữa hai mặt phẳng được lấy là góc không tù giữa hai đường vuông góc giao tuyến.
Hai góc cần xét bù nhau, nên phải lấy $180^\circ-120^\circ$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Vẫn xác định được góc không tù bù với 120°, bằng 60°.
Lời giải
Hai mặt chứa hai đường tạo góc $120^\circ$; góc không tù giữa hai đường là $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Do đó góc hai mặt phẳng bằng $60^\circ$.
Phân biệt góc giữa hai mặt phẳng và góc nhị diện
Với hai mặt cắt nhau, dựng hai đường cùng vuông góc giao tuyến. Nếu đề hỏi góc hai mặt, chọn góc không tù; nếu đề chỉ rõ góc nhị diện, giữ đúng hai tia nằm trong hai nửa mặt đã cho.
Đang học