Hai đường thẳng song song trong không gian

Nhắc lại điều kiện song song

Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Trong không gian, chỉ biết hai đường không cắt nhau chưa đủ: chúng còn có thể chéo nhau. Qua một điểm ngoài một đường thẳng, có duy nhất một đường song song với đường đã cho. Hai đường phân biệt cùng song song với một đường thứ ba thì song song với nhau. Các tính chất này cho phép ta dùng một đường trung gian để chứng minh.

Dùng đường trung bình trong hai mặt

Tứ diện SABC; MN là đường trung bình của SAB, PQ là đường trung bình của CAB, cả hai cùng phương AB. — Hai đường trung bình nằm trong hai mặt khác nhau.

Cho tứ diện $SABC$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,CA,CB$. Chứng minh $MN\parallel PQ$. Trong tam giác $SAB$, $MN$ là đường trung bình, nên $MN\parallel AB$. Trong tam giác $CAB$, $PQ$ cũng là đường trung bình, nên $PQ\parallel AB$. Hai đường $MN,PQ$ phân biệt và cùng song song với $AB$, vì thế $MN\parallel PQ$. Ta xét từng tam giác phẳng trước, rồi nối hai kết quả bằng tính chất song song trong không gian.

Chứng minh một cặp đường thẳng song song

Với các trung điểm trong ví dụ, chứng minh $MP\parallel NQ$.

ATrong tam giác $SAC$, $MP\parallel AC$; trong tam giác $SBC$, $NQ\parallel BC$, nên $MP\parallel NQ$.BHai đường $MP,NQ$ cùng vuông góc với $SC$, nên chúng song song.C$MP,NQ$ cùng đi qua trung điểm các cạnh bên nên chúng trùng nhau.DTrong tam giác $SAC$, $MP\parallel SC$. Trong tam giác $SBC$, $NQ\parallel SC$. Hai đường phân biệt cùng song song với $SC$, nên $MP\parallel NQ$.

Tìm phương của giao tuyến

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song. Một hệ quả thường dùng, còn gọi là **định lí mái nhà**: nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường ấy, hoặc trùng với một trong hai đường. Vì vậy, khi đã có một điểm chung của hai mặt và một cặp đường song song nằm trong hai mặt, ta có thể tìm giao tuyến qua điểm chung theo phương song song vừa biết.

Giao tuyến qua đỉnh hình chóp

Hình chóp S.ABCD có đáy hình thang AB song song CD; đường qua S cùng phương AB là giao tuyến hai mặt SAB và SCD. — Giao tuyến được xác định bằng một điểm và một phương.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AB\parallel CD$. Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$. Hai mặt có điểm chung $S$. Chúng chứa hai đường $AB,CD$ song song. Theo hệ quả vừa học, giao tuyến cùng phương với $AB,CD$. Vì $S$ không nằm trong đáy, giao tuyến không trùng hai đường đáy. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$. Không cần kéo dài $AB,CD$ để tìm điểm chung thứ hai: hai đường này vốn song song.

Đổi cặp mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Tìm $(SAD)\cap(SBC)$.

AGiao tuyến là đường qua $S$ song song với $AB$ và $CD$.BGiao tuyến là đường $AD$.CGiao tuyến là đường $BC$.DHai mặt cùng chứa $S$, lần lượt chứa $AD,BC$ song song. Giao tuyến là đường qua $S$ song song với $AD$ và $BC$.

Kiểm tra điều kiện

Ba đường phân biệt $a,b,c$ thỏa $a\parallel c$, $b\parallel c$. Có cần giả thiết thêm $a,b$ đồng phẳng để kết luận $a\parallel b$ không?

ACần thêm giả thiết $a,b$ đồng phẳng; nếu không chúng có thể chéo nhau.BKhông cần thêm. Tính chất hai đường phân biệt cùng song song với đường thứ ba đã bảo đảm chúng song song, do đó cũng đồng phẳng.CCần thêm $a\perp b$ để suy ra $a\parallel b$.DKhông cần thêm, nhưng chỉ có thể kết luận $a$ và $b$ trùng nhau.

Điều cần nhớ

Tìm đường trung gian bằng đường trung bình hoặc cạnh hình bình hành. Với giao tuyến, có thể dùng hai điểm chung, hoặc một điểm chung và phương song song đã được chứng minh.