Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Một cạnh xiên có thể tạo nhiều góc với các đường trong đáy. Góc với mặt đáy được xác định bằng hình chiếu của chính cạnh đó. Vì vậy, ta tìm hình chiếu trước rồi mới chọn tỉ số lượng giác.
Định nghĩa và các trường hợp
Nếu đường $d$ không vuông góc với mặt $(P)$, góc giữa $d$ và $(P)$ là góc giữa $d$ và hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.
| Vị trí của đường | Góc với mặt |
|---|---|
| Vuông góc với mặt | $90^\circ$ |
| Song song hoặc nằm trong mặt | $0^\circ$ |
| Cắt mặt, không vuông góc | Góc nhọn giữa đường và hình chiếu |
Khi cạnh $SM$ cắt mặt tại $M$ và $H$ là hình chiếu của $S$, hình chiếu của $SM$ là $HM$. Góc cần tìm là $\widehat{SMH}$, không phải góc tại $S$.
Từ hình chiếu đến tam giác vuông
Cho hình chóp $S.ABCD$, $SA\perp(ABCD)$, $SA=3$, $AB=4$. Tính góc $\alpha$ giữa $SB$ và đáy.
Hình chiếu của $S$ là $A$, của $B$ là $B$, nên $SB$ chiếu thành $AB$. Do đó $\alpha=\widehat{SBA}$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$. So với góc tại $B$, cạnh đối là $SA$, cạnh kề là $AB$:
$$\tan\alpha=\frac{SA}{AB}=\frac34.$$
Suy ra $\alpha=\arctan(3/4)\approx36{,}87^\circ$. Cũng có thể tính $SB=5$ rồi dùng $\sin\alpha=3/5$. Khi dùng máy tính, chọn đơn vị độ.
Thực hiện với cạnh SD
Cho hình chóp $S.ABCD$, $SA\perp(ABCD)$, $SA=AD=5$. Góc giữa $SD$ và đáy bằng bao nhiêu?
$SD$ cắt đáy và có đầu $S$ ngoài đáy; hình chiếu là $AD$, nên góc không bằng $0^\circ$.
Đúng: góc $SDA$ là góc nhọn của tam giác vuông cân, bằng $45^\circ$.
Hai cạnh góc vuông bằng nhau cho góc nhọn $45^\circ$; cần kiểm lại tam giác $SAD$.
Đường vuông góc với đáy là $SA$. Góc của $SD$ với đáy là góc tại $D$, không phải góc vuông tại $A$.
Lời giải
Hình chiếu của $SD$ lên đáy là $AD$, nên góc cần tìm là $\widehat{SDA}$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ và có $SA=AD$, nên góc tại $D$ bằng $45^\circ$.
Khi phải tìm độ dài hình chiếu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình chữ nhật, $SA\perp(ABCD)$, $AB=3$, $AD=4$, $SA=5$. Tính góc giữa $SC$ và đáy.
Đoạn $SC$ có hình chiếu $AC$. Trong đáy hình chữ nhật, $AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=5$.
Vì $SA\perp AC$, tam giác $SAC$ vuông tại $A$. Góc cần tìm là $\widehat{SCA}$ và $\tan\widehat{SCA}=SA/AC=1$. Vậy góc bằng $45^\circ$.
Ta phải dùng đường chéo $AC$, không dùng cạnh $BC$: $AC$ mới là hình chiếu của $SC$.
Tính khi chiều cao thay đổi
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình chữ nhật có $AB=6$, $AD=8$ và $SA\perp(ABCD)$, $SA=10\sqrt3$. Tính góc giữa $SC$ và đáy.
Ở đây $SA=10\sqrt3$, còn $AC=10$, không bằng nhau.
Góc giữa $SC$ và đáy là góc tại $C$, nên $\tan$ bằng cạnh đối $SA$ chia cạnh kề $AC$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Đường cần xét là $SC$, không phải đường cao $SA$.
Lời giải
Hình chiếu của $SC$ là $AC$. Có $AC=\sqrt{6^2+8^2}=10$ và tam giác $SAC$ vuông tại $A$. Vì vậy $\tan\widehat{SCA}=SA/AC=\sqrt3$, suy ra góc cần tìm bằng $60^\circ$.
Các bước xác định và tính góc
Ghi rõ hình chiếu và góc cần tìm. Sau đó chọn tam giác vuông chứa góc ấy, xác định cạnh đối, cạnh kề hoặc cạnh huyền. Nếu chưa dựng đúng góc, một phép tính lượng giác đúng vẫn có thể trả lời nhầm câu hỏi.
Đang học