Giới hạn một phía và giới hạn vô cực

Tiến từ bên trái hay bên phải?

x→a⁻ nghĩa là x<a và tiến gần a; x→a⁺ nghĩa là x>a và tiến gần a. Dấu nhỏ ở phía trên mô tả **phía của x**, không quyết định ngay dấu của f(x). Giới hạn hai phía bằng L khi và chỉ khi cả giới hạn trái và phải cùng bằng L. Nếu chúng khác nhau thì không có giới hạn hai phía. Với hàm cho từng nhánh, chọn công thức theo phía của x trước khi tính.

Hai nhánh có giới hạn khác nhau

Cho f(x)=x+1 khi x<1, và f(x)=x+2 khi x≥1. Khi x→1⁻, dùng x+1 nên giới hạn bằng 2. Khi x→1⁺, dùng x+2 nên giới hạn bằng 3. Hai phía khác nhau, vậy giới hạn khi x→1 không tồn tại. Giá trị f(1)=3 không sửa được sự khác nhau giữa hai phía; giới hạn một phía chỉ xét các điểm gần 1 ở phía tương ứng.

Phía của x và dấu của mẫu

Khi x→2⁺ thì x−2

AÂm và tiến tới 0BDương và tiến tới 0CBằng 0DTiến tới +∞

Mẫu gần 0: xét cả độ lớn và dấu

Nếu tử tiến tới một số dương khác 0, còn mẫu dương tiến tới 0 thì thương →+∞; mẫu âm tiến tới 0 thì thương →−∞. Nếu tử tiến tới một số âm khác 0, dấu kết quả đảo lại.

Đồ thị y=1/(x−2): nhánh trái đi xuống không giới hạn, nhánh phải đi lên không giới hạn khi x gần 2.

Ví dụ 1/(x−2) có giới hạn phải tại 2 bằng +∞, giới hạn trái bằng −∞. Không có giới hạn hai phía tại 2. Không viết 1/0. Mẫu vẫn khác 0 tại các điểm đang xét; ta chỉ mô tả thương lớn không giới hạn khi mẫu gần 0.

Mẫu bình phương và tử âm

Tính giới hạn −3/(x−1)² khi x→1. Với x≠1, mẫu luôn dương và tiến tới 0, còn tử bằng −3<0. Vì vậy cả hai phía đều cho −∞, nên giới hạn hai phía bằng −∞. Đây là giới hạn vô cực, không phải giới hạn hữu hạn. Khác với mẫu x−1, mẫu bình phương không đổi dấu khi đi qua 1.

Đổi dấu của mẫu

Tính $\lim_{x\to1^+}1/(1-x)$.

AGiới hạn $+\infty$ vì mẫu tiến tới $0^+$.BGiới hạn bằng 0 vì mẫu tiến tới 0.CKhi x>1, 1−x<0 và tiến tới 0, nên thương→−∞.DGiới hạn bằng -1 vì thay $x=1$ vào tử.

Giá trị tuyệt đối

Tìm hai giới hạn một phía của |x|/x tại 0. Có giới hạn hai phía không?

AVới x<0, thương bằng −1; với x>0, bằng 1. Hai phía khác nhau nên không có giới hạn hai phía.BHai giới hạn một phía đều bằng 1 nên giới hạn bằng 1.CHai giới hạn lần lượt là 0 và 0 nên giới hạn bằng 0.DHai phía khác nhau nhưng giới hạn hai phía bằng trung bình 0.

Hai phía cùng về 0

Cho f(x)=−x khi x<0, f(x)=√x khi x≥0. Tính giới hạn khi x→0.

AGiới hạn trái bằng 0, giới hạn phải bằng 1 nên không có giới hạn.BGiới hạn trái của −x là 0, giới hạn phải của √x là 0, nên giới hạn hai phía bằng 0.CGiới hạn trái bằng $+\infty$ vì $-x>0$.DGiới hạn bằng -1 vì dùng nhánh $-x$ ở cả hai phía.

Chỉ có phía phù hợp miền xác định

Tính $\lim_{x\to2^-}1/\sqrt{2-x}$. Vì sao không xét cùng công thức từ phía x>2 trong tập số thực?

AKhi x<2, căn dương tiến tới 0 nên giới hạn +∞. Với x>2, 2−x<0, căn bậc hai không xác định trong số thực.BGiới hạn $-\infty$ vì $2-x\to0$.CGiới hạn bằng 0 vì mẫu tiến tới 0.DCũng xét được phía phải và nhận $-\infty$.

Điều cần nhớ

Chọn nhánh theo phía, rồi xét dấu biểu thức. Hai giới hạn một phía chỉ ghép thành giới hạn hai phía khi cùng kết quả.