X đi xa, còn f(x) có thể gần một mức
Khi x→+∞, x tăng không giới hạn; khi x→−∞, x âm với độ lớn tăng không giới hạn. f(x) vẫn có thể tiến tới một số hữu hạn L.
Với k nguyên dương, 1/xᵏ→0 ở cả hai phía vô cực. Hàm hằng có giới hạn bằng chính hằng số. Khi các giới hạn hữu hạn tồn tại, ta dùng quy tắc tổng, hiệu, tích và thương với mẫu giới hạn khác 0.
Phân thức cùng bậc
Tính giới hạn (3x+1)/(x−2) khi x→+∞. Chia cả tử và mẫu cho x:
$$\frac{3x+1}{x-2}=\frac{3+1/x}{1-2/x}\to3.$$
Khi x→−∞, các phần 1/x và 2/x vẫn tiến tới 0, nên giới hạn cũng bằng 3. Kết quả hai phía giống nhau ở bài này vì tử và mẫu cùng bậc.
Tử bậc thấp hơn mẫu
$\lim_{x\to+\infty}(2x+1)/(x^2+1)$ bằng
Không lấy tỉ số 2/1 khi hai bậc khác nhau.
Các hằng số không phải phần chi phối.
Mẫu tăng nhanh hơn tử.
Đúng: tử mới về 0, mẫu mới về 1.
Lời giải
Thương thành $(2/x+1/x^2)/(1+1/x^2)\to0$.
Căn bậc hai tại âm vô cực
Tính giới hạn √(x²+4)/x khi x→−∞.
Ta có √(x²+4)=|x|√(1+4/x²). Với x<0, |x|=−x, nên thương bằng −√(1+4/x²), tiến tới −1.
Nếu x→+∞ thì |x|=x, giới hạn bằng 1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối sẽ làm sai một trong hai phía.
Khi kết quả không hữu hạn
Với đa thức, đặt lũy thừa bậc cao nhất ra ngoài để xét dấu. Chẳng hạn −2x³+x=x³(−2+1/x²): khi x→+∞, giới hạn −∞; khi x→−∞, giới hạn +∞.
Với phân thức tử bậc cao hơn mẫu, sau khi chia vẫn cần xét dấu và bậc còn lại. Không chỉ ghi “vô cực” mà bỏ dấu.
Hiệu chứa căn có thể cần nhân liên hợp, giống bài giới hạn dãy số. Hai phần cùng ra vô cực không cho phép trừ kí hiệu ∞ với ∞.
Hiệu căn ở dương vô cực
Tính $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+2x}-x)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Cần giữ hạng $2x$ và nhân liên hợp; hiệu tiến tới 1.
Dạng $\infty-\infty$ cần biến đổi; hai hạng gần triệt tiêu nhau.
Mẫu sau khi chia cho $x$ tiến tới 2, nên thương tiến tới 1.
Lời giải
Nhân liên hợp được $2x/(\sqrt{x^2+2x}+x)$. Với x>0, chia x cho kết quả $2/(\sqrt{1+2/x}+1)\to1$.
Đa thức bậc chẵn
Tìm giới hạn x²−5x khi x→−∞.
Hạng bậc cao nhất là $x^2>0$ và chi phối hạng bậc nhất.
Đa thức không được chia chuẩn hóa, nên độ lớn tăng vô hạn.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
$x^2$ tăng nhanh hơn $|x|$, nên không có sự triệt tiêu cân bằng.
Lời giải
x²−5x=x²(1−5/x), thừa số đầu→+∞, sau→1, nên giới hạn +∞.
Giữ dấu của x
Tính giới hạn x²/(x+1) khi x→−∞.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Mẫu mang dấu âm khi $x\to-\infty$, nên thương âm.
Tử bậc 2, mẫu bậc 1 nên độ lớn thương tăng như $|x|$.
Hai đa thức khác bậc; thương tương đương $x$, không tiến tới hằng số.
Lời giải
Viết thành x/(1+1/x). Mẫu→1>0, x→−∞ nên giới hạn −∞.
Mức tiến tới
Cho $f(x)=2+5/(x-1)$. Tính hai giới hạn khi $x\to+\infty$ và $x\to-\infty$.
Phần $5/(x-1)$ đều tiến về 0 ở cả hai phía; hằng số 2 không đổi dấu.
Hàm còn hạng hằng 2.
Mẫu lớn về độ lớn và phân thức tiến về 0 từ hai phía, nên giới hạn vẫn tồn tại.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
Ở cả hai phía, $5/(x-1)\to0$, nên cả hai giới hạn đều bằng $2$.
Điều cần nhớ
Chia lũy thừa cao nhất và kiểm phần còn lại. Với căn √x², luôn bắt đầu từ |x| rồi mới dùng dấu của x theo phía đang xét.
Đang học