Đường và mặt phẳng vuông góc; hình chiếu

Dấu hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một cạnh trông thẳng đứng trên hình chưa chắc vuông góc với đáy. Ta cần giả thiết hoặc một dấu hiệu để chứng minh. Bài này đi từ dấu hiệu đường vuông góc mặt phẳng đến cách dựng hình chiếu.

Dấu hiệu thường dùng

Đường $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. Ta không cần kiểm tra từng đường. Nếu $a,b$ là **hai đường cắt nhau** trong $(P)$ và $d\perp a$, $d\perp b$, thì $d\perp(P)$. Ngược lại, khi đã có $d\perp(P)$, ta được dùng $d\perp c$ với bất kì đường $c\subset(P)$, kể cả khi $d,c$ không cắt nhau. Góc giữa hai đường trong không gian đã được định nghĩa ở bài trước.

Đường vuông góc và mặt phẳng trung trực

Qua một điểm có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Tương tự, qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Mặt phẳng qua trung điểm $I$ của đoạn $AB$ và vuông góc với $AB$ gọi là **mặt phẳng trung trực** của đoạn $AB$. Một điểm $M$ thuộc mặt phẳng này khi và chỉ khi $MA=MB$. Khi $M\ne I$, có thể xét tam giác cân $MAB$: trung tuyến $MI$ đồng thời là đường cao.

Liên hệ song song và vuông góc

| Giả thiết | Kết luận | |---|---| | $a\perp(P)$ và $b\parallel a$ | $b\perp(P)$ | | Hai đường phân biệt cùng vuông góc $(P)$ | Hai đường song song | | $a\perp(P)$ và $(Q)\parallel(P)$ | $a\perp(Q)$ | | Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường | Hai mặt phẳng song song | | $a\perp(P)$ và $b\parallel(P)$ | $a\perp b$ | | $a\perp d$ và $(P)\perp d$ | $a$ nằm trong $(P)$ hoặc song song với $(P)$ | Chú ý từ **phân biệt** ở hai kết luận song song. Hai đối tượng trùng nhau không được gọi là song song trong các phát biểu này.

Ví dụ: chuyển tính vuông góc qua một đường song song

Trong tứ diện $SABC$, $SA\perp(ABC)$. Gọi $M,N$ là trung điểm $SB,AB$. Chứng minh $MN\perp(ABC)$. Xét tam giác $SAB$: $MN$ là đường trung bình, nên $MN\parallel SA$. Do $SA\perp(ABC)$, suy ra $MN\perp(ABC)$. Ta dùng quan hệ song song đã học để chuyển tính vuông góc từ $SA$ sang $MN$.

Vận dụng quan hệ song song và vuông góc

Cho $(P)\parallel(Q)$, $a\perp(P)$. Đường $b$ nằm trong $(Q)$. Có thể kết luận $a\perp b$ không?

ACó. Trước hết $a\perp(Q)$ vì hai mặt phẳng song song. Theo định nghĩa đường vuông góc mặt, $a$ vuông góc với mọi đường nằm trong $(Q)$, trong đó có $b$.BKhông, vì $a\perp(P)$ nhưng không thể suy ra $a\perp(Q)$.CChỉ có thể kết luận $a\parallel b$.DChỉ kết luận $a\perp b$ khi $b$ đi qua giao điểm của $a$ với $(Q)$.

Dùng mặt phẳng để chứng minh hai đường vuông góc

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA\perp(ABCD)$. Chứng minh $BC\perp SB$.

Đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc đáy. Dùng AB và SA để chứng minh BC vuông góc mặt SAB.

Trong đáy hình chữ nhật, $BC\perp AB$. Từ $SA\perp(ABCD)$, ta có $BC\perp SA$. Hai đường $AB,SA$ cắt nhau tại $A$ và thuộc $(SAB)$, nên $BC\perp(SAB)$. Vì $SB\subset(SAB)$, suy ra $BC\perp SB$. Ta chọn mặt $(SAB)$ vì nó chứa đường cần chứng minh vuông góc, đồng thời chứa hai đường $AB,SA$ đã có quan hệ vuông góc với $BC$.

Chứng minh với cạnh bên còn lại

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình chữ nhật, $SA\perp(ABCD)$. Chứng minh $AB\perp SD$.

ACó $AB\perp AD$ do đáy là hình chữ nhật, $AB\perp SA$ do $SA\perp(ABCD)$. Hai đường $AD,SA$ cắt nhau trong $(SAD)$, nên $AB\perp(SAD)$. Vì $SD$ nằm trong mặt này, $AB\perp SD$.BVì $AB\perp SA$ nên suy ra ngay $AB\perp SD$.CVì $AB\perp AD$ nên $AB$ vuông góc với mọi đường trong $(SAD)$.DCó $AB\parallel CD$ và $CD\perp SD$, nên $AB\parallel SD$.

Hình chiếu vuông góc

Với điểm $M$ ngoài $(P)$, kẻ $MH\perp(P)$ tại $H$. Điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$, còn $MH$ là đoạn vuông góc từ $M$ đến mặt. Điểm đã nằm trong mặt thì có hình chiếu là chính nó. Để chiếu một đoạn thẳng, tìm hình chiếu của hai đầu mút. Nếu hai hình chiếu phân biệt, nối chúng lại. Nếu đường chứa đoạn vuông góc mặt thì cả đoạn chiếu thành một điểm.

Xác định hình chiếu trước khi tính

Trong hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp(ABCD)$, hình chiếu của $S$ lên đáy là $A$, còn $B$ đã thuộc đáy nên chiếu thành $B$. Vì thế hình chiếu của đoạn $SB$ lên đáy là $AB$. Tương tự, đoạn $SC$ có hình chiếu là $AC$. Ta không chọn $BC$ chỉ vì nó cùng đi qua $C$: đầu mút còn lại phải là hình chiếu của $S$.

Xác định hai hình chiếu

Cho hình chóp $S.ABCD$, $SA\perp(ABCD)$. Hình chiếu của các đoạn $SD$ và $SA$ lên đáy là gì?

A$S$ chiếu thành $A$, $D$ chiếu thành $D$, nên $SD$ chiếu thành đoạn $AD$. Hai đầu mút của $SA$ đều chiếu thành $A$, nên hình chiếu của $SA$ chỉ là điểm $A$.BHình chiếu của $SD$ là $SD$, của $SA$ là $SA$.CHình chiếu của $SD$ là điểm $A$; của $SA$ là đoạn $AD$.DHình chiếu của cả hai đoạn đều là $AD$.

Những điều cần nhớ

Để chứng minh đường vuông góc mặt, tìm hai đường cắt nhau trong mặt. Để tìm hình chiếu của đoạn, chiếu từng đầu mút và kiểm hai hình chiếu có phân biệt không.