Đọc hình để trả lời đúng câu hỏi
Sau khi khảo sát, đồ thị còn giúp nhận dạng tâm/trục đối xứng và đếm giao điểm. Ta cần phân biệt điểm trên đường cong, điểm trên tiệm cận và tâm đối xứng. Không phải mọi điểm được đánh dấu trên hình đều thuộc đồ thị.
Tâm và trục đối xứng
Tâm I nghĩa là quay nửa vòng quanh I, hình trùng lại. Trục đối xứng là đường thẳng chia hình thành hai phần đối xứng qua phép phản chiếu.
- Hàm bậc ba: tâm có x₀=−b/(3a), tung độ f(x₀).
- Phân thức bậc nhất/bậc nhất không suy biến: tâm là giao tiệm cận đứng và ngang; hai đường phân giác của góc tạo bởi chúng là hai trục đối xứng.
- Phân thức bậc hai/bậc nhất không suy biến: tâm là giao tiệm cận đứng và xiên; hai đường phân giác của các góc tạo bởi chúng cũng là trục đối xứng.
Khi nhận trục từ hình, hai trục đó chia đôi các góc giữa các tiệm cận; không lấy chính đường tiệm cận làm trục.
Ví dụ 1 — Tâm khác trục
Với $f(x)=2+7/(x-3)$, hai tiệm cận là x=3 và y=2. Tâm là I(3;2). Vì hai tiệm cận vuông góc, các đường phân giác có phương trình y−2=x−3 và y−2=−(x−3), tức y=x−1 và y=−x+5.
Có thể thấy tính đối xứng tâm bằng cách đặt X=x−3, Y=y−2: khi đó Y=7/X. Thay (X,Y) bằng (−X,−Y) vẫn thỏa mãn. Hai trục phân giác X=Y và X=−Y cũng giữ phương trình XY=7.
Với tiệm cận đứng x=h và xiên y=ax+b, muốn viết hai đường phân giác có thể dùng công thức khoảng cách đến hai đường:
$$\frac{y-ax-b}{\sqrt{a^2+1}}=\pm(x-h).$$
Đây là công thức để viết phương trình khi đề yêu cầu; nhận dạng trên hình chỉ cần nhớ hai đường chia đôi góc.
Thử: giao hai tiệm cận
Hàm $g(x)=x-5+15/(x+2)$ có tâm đối xứng nào?
Đúng: lấy giao của hai đường tiệm cận.
−5 là hệ số tự do của đường xiên, chưa phải tung độ tại x=−2.
Hoành độ tiệm cận đứng là −2, không phải 2.
Giao đường xiên với Oy không phải tâm.
Lời giải
Giao x=−2 với y=x−5 là I(−2;−7). Chọn A. Không cần tính g(−2), vì điểm này ngoài miền.
Ví dụ 2 — Đếm giao điểm với đường ngang
Xét đồ thị $f(x)=x^3-3x$ ở bài khảo sát hàm bậc ba. Tìm số nghiệm phân biệt của f(x)=m.
Mỗi nghiệm là hoành độ một giao điểm của đồ thị với đường y=m. Đồ thị có cực đại 2, cực tiểu −2; mỗi nhánh giữa các mốc là đơn điệu.
- Nếu −2<m<2: ba giao điểm, nên ba nghiệm phân biệt.
- Nếu m=−2 hoặc m=2: hai giao điểm phân biệt, trong đó một điểm tại cực trị.
- Nếu m<−2 hoặc m>2: một giao điểm.
Chẳng hạn m=0 cho ba nghiệm −√3,0,√3; m=2 cho hai nghiệm −1 và 2 vì $x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2$. Nghiệm kép −1 vẫn chỉ tính là một nghiệm phân biệt.
Thử: giao với một đường xiên
Tìm giao điểm của $y=(x+1)/(x-2)$ và $y=x+1$.
Phương trình còn có nghiệm $x=-1$ từ nhân tử $x+1$; nghiệm này hợp lệ.
Nghiệm thứ hai là $3$; $x=2$ bị loại khỏi miền và không thể là giao điểm.
Với $x=3$, thay vào $y=x+1$ cho tung độ $4$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Điều kiện x≠2. Nhân phương trình (x+1)/(x−2)=x+1 với x−2 được (x+1)(x−3)=0. Hai nghiệm −1,3 đều hợp lệ. Thay vào y=x+1: giao điểm (−1;0),(3;4).
Chọn công thức phù hợp với đồ thị
Trước khi thử các điểm, hãy loại những công thức sai đặc trưng rõ ràng: họ hàm, miền bị ngắt, tiệm cận, chiều hai đầu và số cực trị. Sau đó dùng giao Oy hoặc một điểm chính xác trên hình để phân biệt các phương án còn lại.
Ví dụ đường cong có tiệm cận x=1, y=2 thì không thể là đa thức bậc ba. Nhưng hai tiệm cận ấy chưa xác định duy nhất hàm số: các hàm 2+1/(x−1) và 2+3/(x−1) cùng có hai tiệm cận đó. Cần thêm dữ kiện, chẳng hạn giá trị tại một điểm.
Bài luyện 1
Đồ thị có dạng $y=2+k/(x-1)$, k≠0, và đi qua (0;−1). Tìm k.
Tại $x=0$, mẫu $x-1=-1$, nên số hạng phân thức là $-k$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Tiệm cận ngang cho hằng số $2$, còn $k$ phải được xác định bằng điểm đi qua.
Điểm $(0;-1)$ cung cấp thêm phương trình và xác định duy nhất $k=3$.
Lời giải
−1=2+k/(−1)=2−k nên k=3. Hai tiệm cận riêng chưa đủ; điểm (0;−1) giúp xác định k.
Bài luyện 2
Phương trình $x^3-3x=3$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Bậc ba không bắt buộc có ba nghiệm thực phân biệt; cần xét số giao điểm với đường $y=3$.
Số điểm cực trị không bằng số giao điểm với một đường ngang; mức $3$ nằm trên cực đại $2$.
Giá trị $2$ chỉ là cực đại địa phương; nhánh phải tăng tới $+\infty$ nên vẫn cắt $y=3$ một lần.
Lời giải
Mức 3 lớn hơn cực đại 2, nên đường y=3 chỉ cắt nhánh phải một lần. Có một nghiệm thực phân biệt.
Bài luyện 3
Đồ thị phân thức bậc nhất/bậc nhất có tiệm cận x=−1,y=3. Nêu tâm và hai trục đối xứng.
Đã đổi chỗ hoành độ và tung độ; giao hai tiệm cận là $(-1;3)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Các tiệm cận đi qua tâm nhưng không phải hai trục đối xứng của hyperbol chữ nhật này.
Thay tâm $(-1;3)$ vào cho thấy hai đường này không cùng đi qua tâm; phải dịch đúng theo $y-3=\pm(x+1)$.
Lời giải
Tâm I(−1;3). Hai trục là y−3=±(x+1), tức y=x+4 và y=−x+2.
Luyện sau cụm khảo sát
Trong kho đạo hàm, chọn các nhóm khảo sát bậc ba, phân thức bậc nhất/bậc nhất, bậc hai/bậc nhất, chọn bảng biến thiên và đọc đặc trưng đồ thị. Bắt đầu bằng các câu đúng họ hàm vừa học; những bài ghép nhiều kiến thức hoặc tham số phức tạp cần luyện tiếp sau khi vững bước cơ bản.
Đang học