Đọc xác suất có điều kiện từ bảng

Biết thêm điều kiện thì nhóm đang xét thay đổi

Xác suất $P(A\mid B)$ được đọc là “xác suất A xảy ra, biết rằng B đã xảy ra”. Biến cố sau dấu gạch đứng là điều kiện. Ta chỉ xét các kết quả thuộc B; phần thuận lợi là những kết quả đồng thời thuộc A và B. Kí hiệu $A\cap B$ (cũng viết AB) là giao hai biến cố. Khi $P(B)>0$: $$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ Nếu đang chọn ngẫu nhiên đều trong một nhóm hữu hạn, ta có thể lấy số trường hợp thuộc cả A,B chia cho số trường hợp thuộc B. Mẫu số lúc này không nhất thiết là tổng số của khảo sát ban đầu.

Đọc một hàng của bảng

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm 100 học sinh có dữ liệu sau: | Hoạt động | Ngủ đủ | Chưa ngủ đủ | Tổng | |---|---:|---:|---:| | Có tập thể dục | 30 | 20 | 50 | | Không tập thể dục | 15 | 35 | 50 | | Tổng | 45 | 55 | 100 | Biết học sinh được chọn có tập thể dục, xác suất người đó ngủ đủ là bao nhiêu? Điều kiện đưa ta vào hàng “Có tập thể dục”, gồm 50 học sinh. Trong đó có 30 học sinh ngủ đủ. Vậy xác suất là $30/50=3/5$. Lấy $30/100$ sẽ trả lời câu hỏi về đồng thời cả hai đặc điểm trên toàn bộ nhóm, chưa phải câu hỏi có điều kiện.

Đổi chiều điều kiện

Với bảng ở ví dụ, biết học sinh được chọn ngủ đủ. Xác suất người đó có tập thể dục bằng

A$30/100$B$30/50$C$30/45$D$45/100$

Rút thẻ khi đã biết thẻ chẵn

Hộp có 12 thẻ giống nhau về kích thước, đánh số từ 1 đến 12. Rút ngẫu nhiên một thẻ, biết số trên thẻ là chẵn. Tính xác suất số ấy chia hết cho 3. Trong nhóm số chẵn có 6 khả năng: 2,4,6,8,10,12. Các số vừa chẵn vừa chia hết cho 3 là 6,12. Vì thế xác suất là $2/6=1/3$. Các thẻ trong nhóm điều kiện vẫn đồng khả năng, nên phép đếm trực tiếp dùng được.

Biến cố đối trong cùng điều kiện

Trong nhóm đã biết B, A hoặc không A là hai khả năng bổ sung. Do đó $P(\overline A\mid B)=1-P(A\mid B)$. Còn $P(A\mid\overline B)$ thay **nhóm điều kiện**, thường không bằng $1-P(A\mid B)$. Cần phân biệt dấu gạch trên A với dấu gạch trên B.

Tính từ hai xác suất

Cho $P(A\cap B)=0{,}18$, $P(B)=0{,}3$. Tính $P(A\mid B)$.

A$P(A\mid B)=0{,}18\cdot0{,}3=0{,}054$.B$P(A\mid B)=0{,}3/0{,}18=5/3$.C$P(A\mid B)=0{,}18$ vì đã biết giao của hai biến cố.D$P(A\mid B)=0{,}18/0{,}3=0{,}6$.

Xác suất của biến cố đối

Biết $P(A\mid B)=0{,}7$. Tính $P(\overline A\mid B)$.

AB giữ nguyên là điều kiện. Hai khả năng A và không A có tổng xác suất 1 trong nhóm B, nên kết quả là 0,3.B$P(\overline A\mid B)=0{,}7$ vì điều kiện $B$ giữ nguyên.C$P(\overline A\mid B)=1/0{,}7$.DKhông tính được nếu chưa biết $P(B)$.

Không đổi mẫu số tùy ý

Trong 40 học sinh có 10 học sinh tham gia câu lạc bộ; trong số đó 6 học sinh biết chơi đàn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, biết người đó tham gia câu lạc bộ. Tính xác suất biết chơi đàn.

AXác suất bằng $6/40=0{,}15$.BChỉ xét 10 thành viên câu lạc bộ, nên xác suất bằng 6/10=3/5. Số 40 không làm mẫu số của câu hỏi này.CXác suất bằng $10/40=1/4$.DXác suất bằng $6/10=3/4$.

Điều kiện có xác suất bằng 0

Có thể dùng công thức chia để tính $P(A\mid B)$ khi $P(B)=0$ không?

AKhông. Công thức ở bậc phổ thông yêu cầu P(B)>0; không được chia cho 0 hoặc tự gán một kết quả.BCó, và kết quả luôn bằng $0$ vì tử cũng bằng $0$.CCó, nếu quy ước $P(A\mid B)=P(A)$.DKhông, vì công thức chỉ dùng khi $P(A)>0$.

Điều cần nhớ

Đọc câu “biết rằng…” trước và khoanh đúng nhóm điều kiện. Đổi chiều điều kiện thường làm đổi mẫu số và kết quả.