Định nghĩa đạo hàm qua giới hạn

Khi $x$ đổi từ $x_0$ đến $x_0+h$, giá trị hàm đổi một lượng $f(x_0+h)-f(x_0)$. Tỉ số $$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\quad(h\ne0)$$ cho biết mức thay đổi trung bình của giá trị hàm theo $x$ trên khoảng đang xét. Cho $h$ tiến về $0$: nếu tỉ số có giới hạn hữu hạn, giới hạn đó là **đạo hàm tại $x_0$**, kí hiệu $f'(x_0)$. $$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.$$ Ta xét hàm xác định trong một khoảng chứa $x_0$. Có thể viết tương đương bằng $x\to x_0$, với mẫu $x-x_0$. Không thay $h=0$ vào phân thức ban đầu.

Làm tương tự tại $x_0$ bất kì: $[(x_0+h)^2-x_0^2]/h=2x_0+h\to2x_0$. Vì thế hàm $f(x)=x^2$ có đạo hàm $f'(x)=2x$ trên $\mathbb R$. Với hàm hằng $f(x)=c$, hiệu luôn bằng $0$ nên đạo hàm bằng $0$. Với $f(x)=x$, tỉ số bằng $h/h=1$ nên đạo hàm bằng $1$. Một hàm có đạo hàm trên khoảng nếu có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó.

Nếu có đạo hàm tại một điểm thì hàm liên tục tại điểm đó. Chiều ngược lại không luôn đúng. Chẳng hạn $f(x)=|x|$ liên tục tại $0$, nhưng tỉ số $|h|/h$ bằng $1$ khi $h>0$ và $-1$ khi $h<0$. Hai giới hạn một phía khác nhau, nên không có đạo hàm tại $0$.

Tính hiệu hai giá trị → chia cho số gia khác 0 → lấy giới hạn hữu hạn. Phân biệt đạo hàm tại một điểm với giá trị hàm tại điểm ấy.