Đưa bài toán về một mặt phẳng
Trong hình học không gian, hình vẽ trên giấy chỉ giúp ta hình dung. Hai nét cắt nhau trên hình chưa chắc biểu diễn hai đường có điểm chung. Ta cần dựa vào dữ kiện để biết điểm nằm trên đường nào, đường nằm trong mặt nào.
Các quan hệ cần nhớ
Qua ba điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng, kí hiệu $(ABC)$. Một đường thẳng và một điểm ngoài đường, hoặc hai đường cắt nhau, cũng xác định một mặt phẳng.
Nếu hai điểm phân biệt của một đường thuộc mặt phẳng thì cả đường nằm trong mặt ấy. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung, chúng cắt nhau theo một đường gọi là **giao tuyến**.
Hình chóp $S.ABCD$ có đỉnh $S$ ngoài mặt đáy $(ABCD)$. Các mặt bên là những tam giác có chung đỉnh $S$. Nét đứt biểu diễn cạnh khuất; không suy ra góc hoặc độ dài chỉ từ hình phối cảnh.
Phân biệt vị trí trước khi tìm giao điểm
| Đối tượng | Những khả năng |
|---|---|
| Hai đường thẳng | Trùng, cắt, song song hoặc chéo nhau |
| Đường và mặt phẳng | Nằm trong mặt, cắt tại một điểm hoặc song song |
| Hai mặt phẳng | Trùng, cắt theo một đường hoặc song song |
Hai đường song song cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Hai đường chéo nhau không đồng phẳng. Vì thế, “không có điểm chung” chưa đủ để kết luận song song.
Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Tìm $(SAC)\cap(SBD)$.
Điểm $S$ đã thuộc cả hai mặt. Để tìm điểm chung thứ hai, ta nhìn các đường của hai mặt nằm trong đáy: $AC$ thuộc $(SAC)$, $BD$ thuộc $(SBD)$.
Vì $O\in AC$ và $O\in BD$, điểm $O$ thuộc cả hai mặt phẳng. Hai điểm $S,O$ phân biệt, nên giao tuyến là $SO$.
Ta không đoán $SO$ vì nó nhìn như đường cao. Ở đây chưa có giả thiết $SO$ vuông góc với đáy.
Tìm một giao tuyến khác
Trong cùng hình, tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SBC)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Một điểm chung chưa xác định giao tuyến; hai mặt còn cùng chứa điểm $B$.
Đường $AB$ không nằm trong mặt $(SBC)$; cần dùng hai điểm chung $S,B$.
Hai mặt bên kề nhau cùng chứa cạnh $SB$, nên chắc chắn cắt nhau.
Lời giải
Hai điểm $S,B$ thuộc cả hai mặt phẳng và phân biệt. Hai mặt bên khác nhau, nên giao tuyến là đường $SB$.
Tìm giao điểm của đường với mặt
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình bình hành, $O$ là giao điểm hai đường chéo. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Tìm giao điểm của $AM$ với $(SBD)$.
Ta chọn mặt $(SAC)$ vì chứa đường $AM$. Mặt này cắt $(SBD)$ theo $SO$, như ví dụ trước.
Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$, $M$ là trung điểm $SC$. Vì vậy hai trung tuyến $SO,AM$ gặp nhau tại một điểm $I$. Điểm $I$ thuộc $AM$ và thuộc $SO\subset(SBD)$, nên $AM\cap(SBD)=I$.
Cách làm: chọn một mặt chứa đường đang xét, tìm giao tuyến của mặt ấy với mặt đích, rồi tìm giao điểm của hai đường trong cùng mặt. Cần kiểm các đường có thật sự cắt nhau; không kéo dài hai đường chéo nhau để “tìm” giao điểm.
Giải thích bằng điều kiện đồng phẳng
Trong tứ diện $ABCD$, vì sao hai cạnh đối $AB$ và $CD$ chéo nhau?
Hai đường song song phải đồng phẳng; ở đây cần chứng minh chúng không đồng phẳng.
Bốn đỉnh của một tứ diện không đồng phẳng, nên không có mặt phẳng $(ABCD)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Hai cạnh đối không có đỉnh chung; tính chéo nhau đến từ việc không đồng phẳng.
Lời giải
Nếu có một mặt phẳng chứa cả $AB$ và $CD$, mặt ấy chứa cả bốn đỉnh $A,B,C,D$, trái với định nghĩa tứ diện. Do đó hai đường không đồng phẳng và chéo nhau.
Cách bắt đầu một bài giao tuyến
Đánh dấu các điểm chung đã biết, rồi tìm thêm điểm chung qua những đường nằm trong cùng mặt phẳng. Hai điểm chung phân biệt xác định giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt.
Đang học