Đạo hàm tích và thương

Quy tắc đạo hàm của tích

Khi $u,v$ có đạo hàm: $$(uv)'=u'v+uv',\qquad\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad(v\ne0).$$ Ở quy tắc tích, mỗi lần chỉ lấy đạo hàm một thừa số. Ở quy tắc thương, tử là “đạo hàm tử nhân mẫu, trừ tử nhân đạo hàm mẫu”; mẫu mới là bình phương mẫu cũ.

Tính một tích

Cho $y=(x^2+1)(3x-2)$. Đặt $u=x^2+1$, $v=3x-2$, nên $u'=2x$, $v'=3$. $$y'=2x(3x-2)+3(x^2+1)=9x^2-4x+3.$$ Có thể kiểm lại bằng cách khai triển đa thức trước rồi đạo hàm từng số hạng.

Vận dụng quy tắc đạo hàm của tích

Tính đạo hàm của $y=x(x^2+4)$.

A$y'=1\cdot2x=2x$.B$y'=x^2+4+2x$.C$y'=3x^2$.D$y\prime=1\cdot(x^2+4)+x\cdot2x=3x^2+4$.

Quy tắc đạo hàm của thương

Cho $y=(3x+2)/(x-2)$ với $x\ne2$. Ta có $u'=3$, $v'=1$: $$y'=\frac{3(x-2)-(3x+2)}{(x-2)^2}=\frac{-8}{(x-2)^2}.$$ Dấu trừ tác động lên cả $3x+2$, nên khi bỏ ngoặc phải đổi dấu cả hai số hạng.

Tính đạo hàm của một thương

Tính đạo hàm của $y=(x+1)/(x+3)$.

A$y'=1/1=1$ vì lấy đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu.B$y'=[(x+1)-(x+3)]/(x+3)^2=-2/(x+3)^2$.CVới $x\ne-3$, $y\prime=[(x+3)-(x+1)]/(x+3)^2=2/(x+3)^2$.D$y'=2/(x+3)$.

Trường hợp tử là hằng số

Lấy $u=1$ trong quy tắc thương, ta được $(1/v)'=-v'/v^2$. Chẳng hạn $(1/x)'=-1/x^2$ khi $x\ne0$. Tử hằng có đạo hàm $0$, nhưng cả thương không phải hàm hằng.

Áp dụng vào tiếp tuyến

Với $f(x)=(x+1)/(x+3)$, viết tiếp tuyến tại $x=0$.

A$f(0)=1/3$, $f\prime(0)=2/9$. Tiếp tuyến: $y=\frac29x+\frac13$.B$y=(1/3)x+2/9$.C$y=(2/9)x+1$.D$y=2x+1/3$.

Điều cần nhớ

Ghi u, v và đạo hàm của chúng khi biểu thức chưa quen. Quy tắc tích có dấu cộng; quy tắc thương có dấu trừ và mẫu bình phương.