Các công thức đầu tiên
Với $n$ nguyên dương, $(x^n)'=nx^{n-1}$. Đặc biệt $(x)'=1$; đạo hàm của hằng số bằng $0$. Với $x>0$, $(\sqrt x)'=1/(2\sqrt x)$.
Nếu $u,v$ có đạo hàm và $k$ là hằng số:
$$(u+v)'=u'+v',\quad(u-v)'=u'-v',\quad(ku)'=ku'.$$
Ta có thể tính từng số hạng rồi cộng lại. Hệ số hằng được giữ; một số hạng hằng riêng lẻ thì có đạo hàm bằng $0$.
Giữ hệ số khi hạ số mũ
Với $f(x)=2x^3-5x^2+4x-7$, ta tính:
$$f'(x)=2\cdot3x^2-5\cdot2x+4=6x^2-10x+4.$$
Do đó $f'(2)=24-20+4=8$. Ta tìm đạo hàm trước rồi thay $x=2$; thay trước vào $f$ chỉ cho giá trị hàm.
Tính đạo hàm của đa thức
Tính đạo hàm của $y=3x^4-2x+9$.
Đạo hàm của $-2x$ là $-2$, không còn biến $x$.
Đạo hàm của $3x^4$ là $12x^3$; còn phải nhân với số mũ 4.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Đạo hàm của hằng số 9 bằng 0.
Lời giải
$y\prime=12x^3-2$.
Đạo hàm của căn tại một điểm
Với $f(x)=\sqrt x$, công thức đạo hàm dùng khi $x>0$. Tại $x=9$, $f'(9)=1/(2\sqrt9)=1/6$.
Hàm căn xác định tại $0$, nhưng công thức này không cho đạo hàm hữu hạn tại $0$. Miền xác định của hàm và miền dùng công thức đạo hàm cần được phân biệt.
Căn và đa thức
Tính đạo hàm của $y=4\sqrt x+x^2$ trên $(0;+\infty)$.
Đạo hàm của $\sqrt x$ là $1/(2\sqrt x)$, còn hệ số 2 ở mẫu.
Đạo hàm của căn không bằng một nửa chính biểu thức căn.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Đạo hàm của $x^2$ là $2x$, không phải $x$.
Lời giải
$y\prime=4/(2\sqrt x)+2x=2/\sqrt x+2x$.
Phân biệt hai hệ số
So sánh đạo hàm của $5x$ và của hàm hằng $5$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Hàm hằng không thay đổi theo $x$ nên đạo hàm bằng 0.
Đạo hàm của $ax$ là $a$; đạo hàm hằng số bằng 0.
Trong $5x$, số 5 là hệ số của biến nên đạo hàm bằng 5.
Lời giải
Đạo hàm của $5x$ là $5$; đạo hàm của hàm hằng $5$ là $0$.
Điều cần nhớ
Nhân số mũ xuống, giảm số mũ một đơn vị; giữ hệ số và dấu. Với căn, ghi x>0 khi dùng công thức đạo hàm.
Đang học