Đạo hàm lượng giác, mũ và logarit

Công thức lượng giác dùng đơn vị radian

Các công thức dưới đây dùng biến góc đo bằng radian: | Hàm | Đạo hàm | Điều kiện | |---|---|---| | $\sin x$ | $\cos x$ | Mọi $x$ | | $\cos x$ | $-\sin x$ | Mọi $x$ | | $\tan x$ | $1/\cos^2x$ | $\cos x\ne0$ | | $\cot x$ | $-1/\sin^2x$ | $\sin x\ne0$ | Với góc là $u(x)$, nhân thêm $u'$. Ví dụ $(\sin u)'=u'\cos u$. Có thể suy ra công thức của tan bằng quy tắc thương từ $\tan x=\sin x/\cos x$.

Giữ dấu âm và đạo hàm góc

Tính đạo hàm $y=2\cos(3x-1)$. Lớp ngoài là cos, đạo hàm có dấu âm; góc bên trong có đạo hàm $3$: $$y'=2[-\sin(3x-1)]\cdot3=-6\sin(3x-1).$$ Với $z=\tan(2x)$, ta được $z'=2/\cos^2(2x)$ tại những điểm $\cos(2x)\ne0$.

Tính đạo hàm của hàm sin

Tính đạo hàm của $y=\sin(5x+2)$.

A$y\prime=5\cos(5x+2)$.B$y'=\cos(5x+2)$.C$y'=5\sin(5x+2)$.D$y'=5\cos(5)$.

Công thức mũ và logarit

Với $a>0$, $a\ne1$: | Hàm | Đạo hàm | |---|---| | $e^x$ | $e^x$ | | $a^x$ | $a^x\ln a$ | | $\ln x$ | $1/x$ với $x>0$ | | $\log_a x$ | $1/(x\ln a)$ với $x>0$ | Với hàm hợp, $(e^u)'=u'e^u$, $(a^u)'=u'a^u\ln a$; $(\ln u)'=u'/u$ và $(\log_a u)'=u'/(u\ln a)$ khi $u>0$. Phân biệt $x^3$ với $3^x$: một hàm có số mũ cố định, một hàm có biến ở số mũ, nên dùng công thức khác nhau.

Tính rồi mới thay giá trị

Với $f(x)=e^{2x}+\ln(x+2)$, miền xác định là $x>-2$. $$f'(x)=2e^{2x}+\frac1{x+2}.$$ Tại $x=0$, $f'(0)=2+1/2=5/2$. Trong khi đó $f(0)=1+\ln2$, không phải giá trị đạo hàm.

Logarit của biểu thức bậc hai

Tính đạo hàm của $y=\ln(x^2+1)$.

A$y'=1/(x^2+1)$.BVì $x^2+1>0$ với mọi $x$, $y\prime=2x/(x^2+1)$ trên $\mathbb R$.C$y'=2x\ln(x^2+1)$.D$y'=2/x$ với $x>0$.

Cơ số khác e

Tính đạo hàm của $y=3^{x-1}$ và $z=\log_2 x$.

A$y'=3^{x-1}$ và $z'=1/x$.B$y'=(x-1)3^{x-2}$ và $z'=1/(x\ln2)$.C$y'=3^{x-1}\ln3$ và $z'=\ln2/x$.D$y\prime=3^{x-1}\ln3$ với mọi $x$; $z\prime=1/(x\ln2)$ với $x>0$.

Kết hợp với quy tắc tích

Tính đạo hàm của $y=x\sin x$.

A$y\prime=\sin x+x\cos x$ theo quy tắc tích.B$y'=\cos x$ vì đạo hàm của $x$ bằng 1.C$y'=x\cos x$ vì chỉ lấy đạo hàm của $\sin x$.D$y'=\sin x+\cos x$.

Điều cần nhớ

Giữ dấu âm của cos và cot, dùng radian, nhân đạo hàm bên trong. Với mũ/logarit cơ số khác e, nhớ thừa số ln a và điều kiện đối số dương.