Một hàm được tính qua hai bước
Với $y=(2x-1)^4$, ta có thể tính $u=2x-1$ trước, rồi tính $y=u^4$. Đây là hàm hợp.
Nếu các đạo hàm tương ứng tồn tại, quy tắc là:
$$y'_x=y'_u\,u'_x.$$
Nghĩa là lấy đạo hàm theo biến trung gian, rồi nhân với đạo hàm của biến trung gian theo $x$. Không chỉ thay $x$ bằng biểu thức bên trong công thức cũ.
Lũy thừa của một biểu thức
Với $y=(2x-1)^4$, đặt $u=2x-1$. Ta có $y'_u=4u^3$, $u'_x=2$. Vì vậy:
$$y'=4(2x-1)^3\cdot2=8(2x-1)^3.$$
Thừa số $2$ xuất hiện vì biểu thức bên trong cũng thay đổi theo $x$.
Tính đạo hàm của hàm hợp
Tính đạo hàm của $y=(x^2+3)^5$.
Còn thiếu đạo hàm của biểu thức bên trong là $2x$.
Sau khi lấy đạo hàm lũy thừa, số mũ phải giảm từ 5 xuống 4.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Không lấy đạo hàm riêng từng thành phần rồi thay vào cơ số; phải giữ $x^2+3$ và nhân $2x$.
Lời giải
$y\prime=5(x^2+3)^4\cdot2x=10x(x^2+3)^4$.
Căn của một biểu thức
Cho $y=\sqrt{x^2+4}$. Đặt $u=x^2+4>0$ với mọi $x$. Đạo hàm theo $u$ là $1/(2\sqrt u)$ và $u'=2x$.
$$y'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}.$$
Với $\sqrt{u(x)}$, công thức $u'/(2\sqrt u)$ dùng tại những điểm $u>0$. Nếu $u=0$, cần xét riêng, không thay vào mẫu bằng $0$.
Giữ điều kiện
Tính đạo hàm của $y=\sqrt{3x-2}$.
Còn thiếu thừa số 3 từ đạo hàm bên trong; tại đầu mút đạo hàm không xác định.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Đạo hàm căn có căn ở mẫu, không ở tử.
Công thức đúng nhưng miền của đạo hàm phải là $x>2/3$ vì mẫu khác 0.
Lời giải
Với $x>2/3$, $y\prime=3/(2\sqrt{3x-2})$.
Tìm thừa số bị thiếu
Một lời giải viết $[(4x+1)^3]\prime=3(4x+1)^2$. Cần sửa gì?
Quy tắc hàm hợp còn yêu cầu nhân đạo hàm của $4x+1$.
Hệ số ngoài phải là tích $3\cdot4=12$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Sau khi lấy đạo hàm, số mũ 3 phải giảm còn 2.
Lời giải
Còn thiếu đạo hàm bên trong bằng $4$. Kết quả đúng là $12(4x+1)^2$.
Điều cần nhớ
Viết u nếu cần, đạo hàm lớp ngoài rồi nhân u′. Kiểm điều kiện của căn và mẫu trước khi rút gọn.
Đang học