Đạo hàm cấp hai và gia tốc

Lấy đạo hàm của hàm đạo hàm

Nếu $f$ có đạo hàm và hàm $f'$ lại có đạo hàm tại điểm đang xét, đạo hàm của $f'$ được gọi là đạo hàm cấp hai của $f$, kí hiệu $f''$ hoặc $y''$. Ta tính theo thứ tự $f\to f'\to f''$. Dấu hai phẩy không có nghĩa là bình phương đạo hàm; $f''$ khác với $(f')^2$.

Đạo hàm hai lần một biểu thức

Cho $f(x)=x^3+e^{3x}$. Lần thứ nhất: $$f'(x)=3x^2+3e^{3x}.$$ Lần thứ hai, thừa số $3$ ở trước hàm mũ vẫn giữ và ta lại nhân đạo hàm $3x$: $$f''(x)=6x+9e^{3x}.$$ Do đó $f''(0)=9$. Không thay $x=0$ vào $f'$ trước khi lấy đạo hàm lần hai, vì khi đó ta chỉ còn một số.

Tính đạo hàm cấp hai của đa thức

Tính $f\prime\prime(x)$ và $f\prime\prime(1)$ với $f(x)=2x^4-x^2+5$.

A$f\prime(x)=8x^3-2x$; $f\prime\prime(x)=24x^2-2$, nên $f\prime\prime(1)=22$.B$f''(x)=8x^3-2x$ và $f''(1)=6$.C$f''(x)=24x-2$ và $f''(1)=22$.D$f''(x)=24x^2$ và $f''(1)=24$.

Từ tọa độ đến vận tốc, rồi gia tốc

Sơ đồ tọa độ s t lấy đạo hàm thành vận tốc v t, rồi lấy đạo hàm lần nữa thành gia tốc a t. — Trong chuyển động thẳng: $v(t)=s'(t)$, $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Với chuyển động thẳng có tọa độ $s(t)$, vận tốc là $v(t)=s'(t)$. Gia tốc tức thời là đạo hàm của vận tốc: $$a(t)=v'(t)=s''(t).$$ Nếu tọa độ tính bằng mét và thời gian bằng giây, vận tốc có đơn vị m/s, gia tốc có đơn vị m/s². Gia tốc là mức thay đổi tức thời của vận tốc; không phải vận tốc chia cho thời gian trong mọi trường hợp.

Một chuyển động theo mô hình cho trước

Cho $s(t)=t^3-3t^2+2t$ (m), $t\ge0$ tính bằng giây. Ta có $v(t)=3t^2-6t+2$ và $a(t)=6t-6$. Tại $t=2$, $v(2)=2$ m/s và $a(2)=6$ m/s². Tại $t=1$, vận tốc bằng $-1$ m/s còn gia tốc bằng $0$. Như vậy gia tốc bằng $0$ tại một thời điểm không buộc vật đứng yên ở thời điểm đó.

Gia tốc của dao động

Cho $s(t)=3\cos(2t)$ (cm), $t$ tính bằng giây. Tính $v(t),a(t)$ và $a(0)$.

A$v=6\sin(2t)$, $a=12\cos(2t)$, $a(0)=12$.B$v(t)=-6\sin(2t)$ cm/s; $a(t)=-12\cos(2t)$ cm/s²; do đó $a(0)=-12$ cm/s².C$v=-3\sin(2t)$, $a=-3\cos(2t)$, $a(0)=-3$.D$v=-6\sin(2t)$, $a=-12\sin(2t)$, $a(0)=0$.

Tính cấp hai có điều kiện

Tính đạo hàm cấp hai của $y=\ln(x+1)$.

AVới $x>-1$, $y\prime=1/(x+1)$, rồi $y\prime\prime=-1/(x+1)^2$.B$y''=1/(x+1)^2$ với $x>-1$.C$y''=-1/(x+1)$ với $x>-1$.D$y''=-1/x^2$ với $x>0$.

Điều cần nhớ

Tính đạo hàm lần lượt hai lần, giữ điều kiện và chỉ thay giá trị sau khi đã có biểu thức cần tìm. Trong chuyển động, s′ là vận tốc, s″ là gia tốc.