Chứng minh song song trong không gian

Tìm một đường quen thuộc để so sánh

Để chứng minh một đường song song với mặt phẳng, ta thường tìm một đường trong mặt phẳng đó song song với đường đã cho. Đường trung bình của tam giác và cạnh đối của hình bình hành là hai nguồn dữ kiện quen thuộc.

Đường thẳng song song mặt phẳng

Nếu $d$ không nằm trong $(P)$ và $d\parallel a$ với $a\subset(P)$, thì $d\parallel(P)$. Điều kiện “không nằm trong” cần được kiểm tra. Hai đường song song vẫn có thể cùng nằm trong $(P)$; khi ấy không được kết luận một đường song song với chính mặt phẳng chứa nó.

Từ đường trung bình đến đường–mặt

Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $M,N$ là trung điểm của $SA,SB$. Chứng minh $MN\parallel(ABC)$.

Trong hình chóp S.ABC, các trung điểm M, N, P tạo tam giác song song với đáy.

Trong tam giác $SAB$, $M,N$ là hai trung điểm, nên $MN\parallel AB$. Mà $AB\subset(ABC)$. Điểm $M$ nằm trên $SA$ và khác $A$; vì $S$ ngoài đáy, đường $SA$ chỉ cắt đáy tại $A$, nên $M$ không thuộc đáy. Do đó $MN$ không nằm trong $(ABC)$. Đủ các điều kiện của dấu hiệu, suy ra $MN\parallel(ABC)$.

Đổi sang cặp trung điểm khác

Gọi thêm $P$ là trung điểm $SC$. Chứng minh $MP\parallel(ABC)$.

ATrong tam giác $SAC$, $MP\parallel SC$, nên $MP\parallel(ABC)$.BVì $M,P$ không thuộc $(ABC)$ nên mọi đường qua hai điểm đều song song với $(ABC)$.CTrong tam giác $SAC$, $MP$ là đường trung bình nên song song $AC$. Có $AC\subset(ABC)$ và $M\notin(ABC)$, vì vậy $MP$ không nằm trong đáy. Suy ra $MP\parallel(ABC)$.DVì $MP\parallel AC$ và $AC\subset(ABC)$ nên $MP$ nằm trong $(ABC)$.

Hai mặt phẳng song song

Nếu $(P)$ chứa hai đường **cắt nhau**, cả hai cùng song song với $(Q)$, thì $(P)\parallel(Q)$. Hai đường cắt nhau giúp xác định hai phương trong $(P)$. Chỉ có một đường, hoặc hai đường song song, chưa đủ: hai mặt phẳng vẫn có thể cắt nhau theo một đường cùng phương với chúng. Khi hai mặt phẳng song song, một mặt phẳng thứ ba cắt chúng theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến đó song song.

Từ hai đường đến hai mặt

Với các trung điểm $M,N,P$ ở ví dụ trên, chứng minh $(MNP)\parallel(ABC)$. Ta đã có $MN\parallel(ABC)$ và $MP\parallel(ABC)$. Hai đường $MN,MP$ cắt nhau tại $M$ và thuộc $(MNP)$. Áp dụng dấu hiệu vừa học, $(MNP)\parallel(ABC)$. Không chỉ nói “các cạnh tương ứng song song”; cần chọn rõ hai đường cắt nhau để dùng dấu hiệu.

Dùng Thalès trong tam giác khi mặt cắt song song

Cho hình chóp $S.ABC$. Một mặt phẳng song song với đáy cắt $SA,SB,SC$ lần lượt tại $M,N,P$. Mặt $(SAB)$ cắt hai mặt song song theo $MN,AB$, nên $MN\parallel AB$. Trong tam giác $SAB$, định lí Thalès cho $SM/SA=SN/SB=MN/AB$. Chẳng hạn $SM/SA=2/3$, $AB=9$ thì $MN=6$. Nếu $SB=12$ thì $SN=8$. Ta đang dùng Thalès quen thuộc trong tam giác sau khi đã chứng minh giao tuyến song song. Chú ý phân biệt $SM/SA$ với $SM/MA$: nếu $SM/SA=2/3$ thì $SM/MA=2$.

Chứng minh hai mặt phẳng song song

Trong tứ diện $ABCD$, gọi $E,F,G$ là trung điểm $AB,AC,AD$. Chứng minh $(EFG)\parallel(BCD)$.

ACó $EF\parallel BC$ nhưng $EG\parallel CD$, nên $(EFG)\parallel(BCD)$.BTrong các tam giác $ABC,ABD$, có $EF\parallel BC$ và $EG\parallel BD$. Điểm $E$ ngoài $(BCD)$ nên $EF,EG$ không nằm trong mặt ấy; vì thế cả hai cùng song song $(BCD)$. Chúng cắt nhau tại $E$ và nằm trong $(EFG)$, suy ra $(EFG)\parallel(BCD)$.CChỉ cần $EF\parallel BC$ là đủ kết luận hai mặt phẳng song song.DBa điểm $E,F,G$ là trung điểm nên $(EFG)\perp(BCD)$.

Ghi đủ điều kiện của dấu hiệu

Đường–mặt: một đường song song nằm trong mặt, kèm điều kiện đường đang xét không nằm trong mặt. Mặt–mặt: hai đường cắt nhau cùng song song với mặt kia.