Từ bảng đạo hàm sang bảng nguyên hàm
Không cần đoán lại từ đầu mỗi lần. Ta đọc ngược các công thức đạo hàm quen thuộc, rồi tách tổng thành những hạng đã biết.
Các công thức cần dùng
Trên khoảng mà các hàm có nghĩa, ta có:
| Hàm f(x) | Một nguyên hàm |
|---|---|
| $0$ | $0$ |
| $1$ | $x$ |
| $x^\alpha$, $\alpha\ne-1$ | $x^{\alpha+1}/(\alpha+1)$ |
| $1/x$ | $\ln|x|$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$, $a>0,a\ne1$ | $a^x/\ln a$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ |
| $1/\cos^2x$ | $\tan x$ |
| $1/\sin^2x$ | $-\cot x$ |
Thêm C khi viết họ nguyên hàm. Với số mũ thực bất kỳ, dùng công thức lũy thừa trên x>0; trường hợp số mũ nguyên có thể dùng trên những khoảng thích hợp rộng hơn. Các công thức lượng giác dùng radian và tránh điểm mẫu bằng 0.
Tìm nguyên hàm của tổng/hiệu bằng cách cộng/trừ nguyên hàm từng hạng; hệ số hằng có thể đưa ra ngoài. Không có quy tắc “nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm”.
Ví dụ 1 — Biến đổi trước khi tra bảng
Tính $\int(2x+1)^2\,dx$.
Bình phương ra được 4x²+4x+1. Lần lượt tăng số mũ thêm 1 rồi chia cho số mũ mới:
$$\int(2x+1)^2\,dx=\frac43x^3+2x^2+x+C.$$
Lấy đạo hàm được 4x²+4x+1, đúng biểu thức đã khai triển. Cách khai triển tránh nhầm hệ số khi bên trong có 2x+1.
Thử: trường hợp số mũ −1
Họ nguyên hàm của 1/x trên (0;+∞) là gì?
Đúng vì đạo hàm ln x là 1/x.
Phép chia cho 0 không xác định.
Đây không phải hàm có đạo hàm 1/x.
Đạo hàm x ln x là ln x+1.
Lời giải
Trên (0;+∞), nguyên hàm là ln x+C. Chọn A; công thức tăng mũ không áp dụng khi mẫu α+1 bằng 0.
Ví dụ 2 — Ghép hàm mũ và lượng giác
Tính $\int(2e^x+3\cos x-4\sin x)\,dx$.
Hai hạng đầu cho 2eˣ và 3sin x. Nguyên hàm của sin x là −cos x; nhân với −4 thành +4cos x. Vì vậy kết quả là:
$$2e^x+3\sin x+4\cos x+C.$$
Khi đạo hàm lại, +4cos x trở thành −4sin x. Bước kiểm này giúp phát hiện lỗi dấu ngay.
Thử: chú ý hệ số bên trong
Tìm một nguyên hàm của cos(2x).
Đạo hàm biểu thức này là $4\cos(2x)$; phải chia cho hệ số trong đối số.
Đạo hàm là $2\cos(2x)$, còn thừa hệ số $2$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Đạo hàm của cos mang dấu âm và cho hàm sin, không trả lại $\cos(2x)$.
Lời giải
Vì (sin 2x)′=2cos 2x, ta chia cho 2: F(x)=sin(2x)/2. Họ nguyên hàm là sin(2x)/2+C.
Khi bên trong là ax+b
Nếu F′=f và a≠0 thì một nguyên hàm của f(ax+b) là F(ax+b)/a, vì quy tắc đạo hàm hàm hợp tạo hệ số a. Chẳng hạn nguyên hàm của e³ˣ là e³ˣ/3. Đây là cách kiểm bằng đạo hàm; không bỏ hệ số bên trong.
Bài luyện 1
Tính $\int(3x^2-4x+2)\,dx$.
Nguyên hàm của $-4x$ là $-2x^2$, không phải $-4x^2$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Đây gần với việc lấy đạo hàm sai chiều; nguyên hàm phải tăng số mũ của các lũy thừa.
Biểu thức là một nguyên hàm cụ thể nhưng chưa biểu diễn cả họ vì thiếu $+C$.
Lời giải
x³−2x²+2x+C. Đạo hàm từng hạng trả lại 3x²−4x+2.
Bài luyện 2
Tính $\int x^{-2}\,dx$ trên (0;+∞).
Áp dụng công thức lũy thừa còn phải chia cho số mũ mới $-1$, tạo dấu âm.
Đây là đạo hàm của $x^{-2}$, không phải nguyên hàm.
Logarit là nguyên hàm của $1/x$, không phải $1/x^2$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Số mũ mới −1: nguyên hàm −x⁻¹+C=−1/x+C. Đạo hàm của −1/x là 1/x².
Bài luyện 3
Tính $\int 2^x\,dx$.
Đây là đạo hàm của $2^x$; khi lấy nguyên hàm phải chia cho $\ln2$.
Không dùng quy tắc lũy thừa cho hàm mũ có biến ở số mũ.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Đạo hàm của $2^x$ còn có hệ số $\ln2$, nên kết quả này chưa đúng.
Lời giải
$2^x/\ln2+C$. Vì đạo hàm 2ˣ có thêm ln2, ta chia để bù hệ số đó.
Những điều cần nhớ
Đưa biểu thức về dạng trong bảng; giữ miền, dấu và hệ số hàm hợp; kiểm lại bằng đạo hàm.
Đang học